定解问题

数学物理方法第七章数学物理定解问题数学物理定解问题数学物理方程的导出数学物理方程的分类定解条件达朗贝尔公式本章小结数学物理方程的导出输运方程一维热传导方程推广波动方程均匀弦的微小横振动方程推广稳定场方程输运方程一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm=ρdx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则由能量守恒定律cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx输运方程推广1情况：内部有热源(或侧面不绝热)分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)推广2情况：细杆不均匀分析：热传导系数k，比热c或线密度ρ为x的函数方程：])([)()(xuxkxuxxct输运方程推广3情况：扩散问题分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律方程：ut=Duxx+Fut=a2uxx+F推广4情况：三维情况分析：温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：)(),,(zzyyxxtuuuktzyxuc，uatruuktructt2),(),(波动方程均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹性弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm=ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则由牛顿第二定律dmutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振动条件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tdmutt=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到ρutt=Tuxxutt=a2uxx波动方程推广1情况：考虑重力或外力分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，代表段的受力为Fdx方程：ρutt=Tuxx+Futt=a2uxx+f，f=F/ρ推广2情况：弦的密度不均匀或受到纵向与x有关的力分析：线密度ρ或张力T为x的函数方程：])([)(xuxTxuxtt波动方程推广3情况：均匀杆的纵振动问题分析：张力T变成杨氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推广4情况：三维情况分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：)(),,(zzyyxxttuuuTtzyxu，uatruuTtrutttt2),(),(稳定场方程概念产生：•在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：•在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类无外界作用情况•拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况•泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k数学物理方程的分类科学分类方法泛定方程的一般分类2元二阶线性微分方程的分类叠加原理科学分类方法定义：根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别作用：使大量繁杂的材料系统化和条理化，以便揭示对象间的相互关系，探索内在规律，便于理解、应用和记忆。方法：比较是分类的前提和基础，分类是比较的深化和结果步骤：进行比较，建立标准，分门别类，逐步细化。数学物理方程的一般分类方程示例：Δu=-ρ/εutt+uyy+uzz=-u2xutt+yuyy=uutt+uut=0uttx+uyy+uz=axutt+uyy=sinuutt=4uyyuy3+u=xt5utt+4uxy+uyy=0utt+uyy+ut=2u-xxutt+uyy=sinyutt+uyy=utt一般分类按自变量的个数，分为二元和多元方程；按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2元二阶线性微分方程的分类一般形式：auxx+buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu=f(x,y)特征方程：ax2+bxy+cy2=0判别式=b2－4ac分类0为双曲型，如波动方程；=0为抛物线型，如热传导方程；0为椭圆型，如稳定场方程。02yyyxyxxcuauauau062yxxyxxuuyuuyuuuyxyxxsin5202yyxyxxxuuuuuuuyyxyxxsin23判断：叠加原理原理：线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程如：Lu1=f1Lu2=f2则：L(au1+bu2)=af1+bf2应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。定解问题问题的提出定解条件初始条件边界条件定解问题初值问题边值问题混合问题定解问题的提出方程u’(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程u”(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，要完全确定这些常数需要附加n个条件。初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一维热传导•未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件•一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b•u|t=0=a+(b-a)x/L初始条件一维弦振动•未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件•初始位移•处于平衡位置：u|t=0=0•两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cxL;•初始速度•处于静止状态：ut|t=0=0•在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/ρ边界条件意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数分：•线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中•按给出的是函数值或导数值分：•第一、二、三类边界条件；•按所给数值是否为零分：•齐次边界条件和非齐次边界条件。边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动•固定端u|x=0=0•受力端ux|x=0=F/ρ一维杆振动•固定端u|x=0=0•自由端ux|x=0=0•受力端ux|x=0=F/YS一维热传导•恒温端u|x=0=a•绝热端ux|x=0=0•吸热端ux|x=0=F/k定解问题定解问题的组成泛定方程：反映同一类现象的普遍性；定解条件：描述具体对象的特殊性。定解问题的分类初值问题(CauchyProblem)•无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）边值问题•无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）•第一边值问题(DirichletProblem)•第二边值问题(NeumannProblem)•第三边值问题(RobinProblem)混合问题•同时有边界条件和初始条件。定解问题定解问题的适定性适定性的意义•定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。适定性的内容•存在性•唯一性•稳定性不适定问题举例•一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；•条件多了，将会破坏解的存在性；•条件少了，将会破坏解的唯一性。达朗贝尔公式定解问题的求解思路I原则：由已知猜未知方法：类比法步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。泛定方程的求解达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的应用泛定方程的求解常微分方程方程：u’=2ax•通解：u=ax2+C偏微分方程方程：ux=2yx•通解：u=yx2+C(y)二阶方程：uxy=0•对y偏积分：ux=C(x)•通解：u=∫C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)达朗贝尔公式的推导定解问题通解特解意义)(|),(|,0002xuxuxuautttxxtt)()(),(atxgatxftxudssatxatxtxuatxatxa)()]()([),(2121达朗贝尔公式的推导通解02xxttuau波动方程为：atxatx作变换：0u得到：)(1fu偏积分得：对)()(1gdfu偏积分得：再对)()()()(atxgatxfgf达朗贝尔公式的推导特解)()(')(')()()(xxagxafxxgxf由初始条件得：xaxadssxxgdssxxf)()()()()()(21212121由此解得：atxatxadssatxatxxu)()]()([)(2121代入通解得：dssxgxfxa)()()(1对第二式积分：达朗贝尔公式的推导意义222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu2222][)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222][atxatxsatxatxeee222[][21)()(212)(atxe达朗贝尔公式的推导意义-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81达朗贝尔公式的应用任意给定初始条件u|t=0=2exp(-x2),ut|t=0=0附加边界条件1.u|x=0=02.ux|x=0=03.u|x=0=u04.u|x=0=0,u|x=L=0达朗贝尔公式的应用)(|),(|0|0,00002xuxuuxuautttxxxtt问题附加边界条件后的定解|)(|)sgn(||),(|)sgn(|,0002xxuxxuxuautttxxtt进行奇延拓后本章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题