差函数的等价无穷小替换

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差函数的等价无穷小替换这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧,基本上可以涵盖所有的求极限题目,因为,我们所学的初等函数有五类,反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数,简称反对幂三指,以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0常见代换:x~sinx~tanx~arctanx~arcsinx幂函数代换:(1+x)λ~λx+1λ可以取整数也可以取分数指数函数代换:ex~x+1ax~lna·x­­­­­+1对数代换:ln(1+x)~xloga(1+x)~x/lna差代换:1.二次的:1-cosx~x­­­­­­­2/2x-ln(1+x)~x­­­­­­­2/22三次的:(1)三角的:x-sinx~x3/6tanx-x~x3/3tanx-sinx~x3/2(2)反三角的:arcsinx-x~x3/6x-arctanx~x3/3arcsinx-arctanx~x3/2下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用例如:求:当x→0时,lim(arcsinx-arctanx)/x3的值。当求这个极限的值的时候,如果用洛必达法则,计算量则会很大,这里不再赘述运用洛必达法则如何求解,只介绍如何使用上述技巧。lim(arcsinx-arctanx)/x3=lim(1/2x3)/x3=1/2大家可以自己做一下洛必达法则的方法,对比一下两者之间的差别。需要注意的是,等价无穷小的运用往往不止一次,只要发现运用洛必达法则运算困难,则可以尝试等价无穷小代换。

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