差分方程求解

第八节差分方程一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程一、差分微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.定义1设函数y=f(x),记为yx,则差yx+1yx称为函数yx的一阶差分,记为yx,即yx=yx+1yx.(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)=yx+22yx+1+yx为二阶差分,记为2yx,即3yx=(2yx),同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即4yx=(3yx).2yx=(yx)=yx+22yx+1+yx例1求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解(x3)=(x+1)3x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1(3x2+3x+1)=6x+6,3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6(6x+6)=6,4(x3)=(6)6=0.二、差分方程的概念定义2含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.差分方程的一般形式为F(x,yx,yx,,nyx)=0.(1)差分方程中可以不含自变量x和未知函数yx,但必须含有差分.式(1)中,当n=1时,称为一阶差分方程；当n=2时,称为二阶差分方程.例2将差分方程2yx+2yx=0表示成不含差分的形式.解yx=yx+1yx,2yx=yx+2yx+1+yx,代入得yx+2yx=0.由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.其一般形式为G(x,yx,yx+1,,yx+n)=0.(2)定义3中要求x,yx,yx+1,,yx+n不少于两个.例如,yx+2+yx+1=0为差分方程,yx=x不是差分方程.差分方程式(2)中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.解yx+1=2(x+1)+1=2x+3,yx+1yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.定义5差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通解.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yx+1ayx=f(x).(3)其中a为不等于零的常数.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+1ayx=0(4)先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解设y0已知,代入方程可知y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为yx=Cax.(5)例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.解这里a=2,由公式(5)得,通解为yx=C(2)x.定理设y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方程(4)的通解,再讨论非齐次差分方程yx+1ayx=f(x)解的结构是(3)的一个特解,则程(3)的通解.是方下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.(1)令f(x)=b0+b1x++bmxm设特解的待定式为xy*xxxyyy01(1)mmxyBBxBxa01()(1)mmxyBBxBxxa或(6)(7)其中B0,B1,,Bm为待定系数.例5求差分方程yx+12yx=3x2的一个特解.解这里a=2,设代入差分方程,得2012,xyBBxBxB0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得(B0+B1+B2)+(B1+2B2)xB2x2=3x2.比较系数,得B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为2963.xyxx例6求差分方程yx+1yx=x+1的通解.解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为这里a=1,设01(),xyxBBx(x+1)[B0+B1(x+1)]x(B0+B1x)=x+1.整理,得2B1x+B0+B1=x+1.比较系数,得2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解为1(1).2xyCxx代入差分方程,得011,2BB*.xyC(2)f(x)=Cbx设特解的待定式为()xxykbba()xxykxbba或(8)(9)其中k为待定系数.例7求差分方程的通解.解对应的齐次方程的通解为1102xxyy因为故可设特解为则15155,2222xxxkk11522xxxyy*1,2xxyC15,,22ab5,2xxyk解出1.2k则所求通解为151.222xxxy四、二阶常系数线性差分方程形如yx+2+ayx+1+byx=f(x).(10)(其中a,b0,且均为常数)的方程,称为二阶常系数线性差分方程.称为齐次差分方程;当f(x)0时,称为非齐次差分方程.当f(x)=0时,即yx+2+ayx+1+byx=0(11)类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程(11)的通解.当为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx=x为方程(11)的解.代如方程(11)得x+2+ax+1+bx=0,方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解两个不相等的实根1,2一对共轭复根1,2=i两个相等实根1=2x+2+ax+1+bx=0的通解2+a+b=0,(12)由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：1122xxxyCC121()xxyCCx1222(cossin),tanxxyCxCxrr例8求差分方程yx+27yx+1+6yx=0的通解.解特征方程为方程的根为1=1,2=6.27+6=0.原方程的通解为yx=C1+C26x.例9求差分方程yx+24yx+1+16yx=0满足条件y0=0,y1=1的特解.解特征方程为方程的根为24+16=0.原方程的通解为1,2223,i4,.3r12cossin4.33xxyCxCx代入初始条件y0=0,y1=1得012112cos0sin040,cossin41,33CCCC解出1210,,23CC故所求特解为14sin.323xxyx(1)f(x)=b0+b1x++bmxm根据非齐次差分方程yx+2+ayx+1+byx=f(x)的函数f(x)的形式,用待定系数法可求出一个特解.设特解的待定式为01(10),mmxyBBxBxab01()(1020)mmxyBBxBxxaba且其中B0,B1,,Bm为待定系数.201()(120).mmxyBBxBxxaba例10求差分方程yx+2+yx+12yx=12x的通解.解对应的齐次方程的特征方程为方程的根为1=2,2=1,2+2=0.齐次方程的通解为*12(2).xxyCC因为a=1,b=2,1+a+b=0,但a+2=30,所以,设非齐次方程的一个特解为01(),xyBBxx代入原方程,得整理,得[B0+B1(x+2)](x+2)+[B0+B1(x+1)](x+1)(B0+B1x)x=12x.比较系数,得6B1=12,3B0+5B1=0,解出故所求通解为21210(2)2.3xxyCCxx6B1x+3B0+5B1=12x.0110,2,3BB(2)f(x)=Cqx设特解的待定式为xxyBqxxyBxq其中B为待定系数.(q不是特征根);(q是特征方程单根);2xxyBxq(q是二重特征根).例11求差分方程yx+23yx+1+2yx=2x的一个特解.解对应的齐次方程的特征方程为方程的根为1=1,2=2,23+2=0.因为q=2=2,设特解为2,xxyBx代入原方程,得122.2xxxyxxB(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x=2x,1,2B所求特解为