话说高考解几求动点轨迹方程的消参法的

话说高考解几求动点轨迹方程的消参法的“消”中学数学高级教师梁关化2015，4，5高考的解几大题，常常是求动点轨迹方程。较难的题往往要用消参法求解。消参法的主要步骤是：设；列；消。设，就是把引起动点变动的相关点的坐标或相关线的方程的参数设为参数。列，就是根据明的（题目已知条件）和暗的（已知条件隐含的条件）条件，把动点的坐标和参数满足的方程列出（一般n个参数需要(n+1)个方程式方能消去）。消，就是从列出的(n+1)个方程式中消去n个参数，保留只含有动点两个坐标x,y的等式。如何消去参数？这就要具体问题具体分析。常用方法的有：代入法，加减法，平方后加减法，变形后乘除法等。下面就2015年广州市和深圳市一模的两题解法话说消参法中的奇妙的“消”例1．（2015年广州一模，略去（3）小题）已知椭圆1C的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12xCy的顶点，直线20xy与椭圆1C交于A，B两点，且点A的坐标为(2,1)，点P是椭圆1C上异于点A,B的任意一点，点Q满足0AQAP，0BQBP，且A，B，Q三点不共线.(1)求椭圆1C的方程；(2)求点Q的轨迹方程；略解：（1）用待定法得椭圆1C的方程为22142xy.（2）（用消参法）设点),(yxQ，点),(11yxP11(,xy为参数)11112211111122211221121)()(1)(1)01)()(1)(1)022431,2)()(1)(1)4)()(1)(1)545)()(1)(1)63426)()(xyyxyyxyxyyxyyxyyxyyy22由已知得(x+22(x-22变形为(x+22(x-22得(x-22把变形为并代入得-2(x-212211)(1)y当2110y时，有2225xy，当2110y，则点(2,1)P或(2,1)P,此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.当点P与点A重合时，即点P(2,1)，由②得23yx，解方程组2225,23,xyyx得点Q的坐标为2,1或2,22.同理,当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为2,1或2,22.∴点Q的轨迹方程为2225xy,除去四个点2,1,2,22,2,1,2,22.（这里用的就是变形后乘除法。如果不把（1）（2）式变形后相乘就很难利用（3）消去参数）例2．（2015年深圳一模）已知椭圆:E22221(0)xyabab的离心率为22，过左焦点倾斜角为45的直线被椭圆截得的弦长为423．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点1,0M作l的垂线垂足为Q，求点Q的轨迹方程．略解：（1）因为椭圆E的离心率为22，所以2222aba，解得222ab，故椭圆E的方程可设为222212xybb，则椭圆E的右焦点坐标为,0b，过右焦点倾斜角为45的直线方程为:lyxb．设直线l与椭圆E的交点记为,AB，由22221,2,xybbyxb消去y，得2340xbx，解得1240,3bxx，因为21242421133bABxx，解得1b．故椭圆E的方程为2212xy．（2）（用消参法）（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm，（k,m为参数）联立直线l和椭圆E的方程，得2212ykxmxy，消去y并整理，得222214220kxkmxm，因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，222216421220kmkm，化简并整理，得2221mk．（1）因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为：11yxk，联立11,,yxkykxm解得221(2)1(3)1kmxkkmyk把（2），（3）两式两边分别平方相加得222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1kmkmkmkmkmmxykkkk，把（1）式2221mk代入上式得222xy．（4）（ii）当切线l的斜率为0时，此时(1,1)Q，符合（4）式．（iii）当切线l的斜率不存在时，此时(2,0)Q或(2,0)，符合（4）式．综上所述，点Q的轨迹方程为222xy．（这里用到平方后加减法。如果不把（2）（3）式平方后相加就很难利用（1）消去参数。）由上面两例解法我们体会到消参法的“消”真奇妙，这印证了一句名言：具体问题具体分析是马列主义的灵魂。