第13讲 周期信号的频谱及其特点

第3章信号与系统的频域分析•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论其特点。•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。•从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一用傅里叶变换作为分析工具。第3章信号与系统的频域分析•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系统对任意信号的响应。•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信号的调制与解调等等。本章主要内容3.1周期信号的分解与合成3.2周期信号的频谱及特点3.3非周期信号的频谱3.4傅氏变换的性质与应用（1）3.5傅氏变换的性质与应用（2）本章主要内容3.6周期信号的频谱3.7系统的频域分析3.8无失真传输系统与理想低通滤波器3.9取样定理及其应用3.10频域分析用于通信系统第13讲周期信号的频谱及其特点上一讲对周期信号的分解与合成仍然是在时间域进行的。只要周期信号满足狄里赫利条件，都可分解为一系列谐波分量之和，而一个余弦分量由振幅、频率和相位确定，即一个余弦分量波形由这三个参数完全决定。同样，一个复指数分量完全由其幅度和相位决定。可以不必画出周期信号所含有的各次谐波的波形，而只用所含各次谐波的振幅、频率和相位信息描述这个周期信号。周期信号从时域到频域的表示周期信号从时域到频域的表示周期信号频谱的概念为方便和明确地表示一个周期信号所含有的频率分量以及各频率分量所占的比重，常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱图。一个信号的频谱图包括幅度频谱图和相位频谱图。幅度频谱图描述各次谐波的幅度与频率的关系。相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分为单边频谱图和双边频谱图。周期信号的单边频谱周期信号()ft的三角函数形式的傅里叶级数展开式为011()cos()nnnftAAntnA1n与的关系称为单边幅度频谱；n1n与的关系称为单边相位频谱。对称方波的傅里叶级数展开式为111111114111()(sinsin3sin5sin7)3574111[cos()cos(3)cos(5)cos(7)]2325272AftttttAtttt周期信号的单边频谱周期锯齿脉冲信号的频谱tf(t)0T2T2E2ET2T220d)sin()(2TTkttktfTb由于f(t)为奇函数，a0=ak=02002d)sin(4TttktTE1)1(kkE)4sin(41)3sin(31)2sin(21)sin()(0000ttttEtf)24cos(41)23cos(31)22cos(21)2cos(0000ttttE周期锯齿脉冲信号的频谱Ak0E002030405020020304052k])24cos(41)23cos(31)22cos(21)2[cos()(0000ttttEtf振幅频谱相位频谱周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期信号的单边频谱1111111()[cos()cos(2)cos(3)cos(4)]22223242AAfttttt421505100tttfcos).cos()(Ak00020304051510002030405150.k250.)42cos(cos2sin1)(000ttttf画出周期信号f(t)的振幅频谱和相位频谱。周期信号的单边频谱已知周期信号63sin41324cos211)(tttf34cos21t求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。解：将f(t)改写为：263cos41324cos211)(tttf显然，1为该信号的直流分量。周期为8；323cos41t周期为6；周期信号的单边频谱解：所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T=/1234cos21t是f(t)的3次谐波分量；323cos41t是f(t)的4次谐波分量。周期信号的单边频谱f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：kkA0A323cos4134cos211)(tttf周期信号的单边频谱周期信号的双边频谱周期信号()ft展开为指数形式的傅里叶级数1()jntnnftFenjnnFFenF1n幅度与的关系称为双边幅度频谱n1n相位与的关系称为双边相位频谱周期矩形信号的频谱0022221()ddTjktjktTkEFftetetTTE0t22)(tfTT)(1220220000jkjktjkeeTjkEejkTE002sin2kkTE22sin00kkTE指数形式的傅里叶系数：（k=0,±1，±2，…）0Sa()2kEkFT)(SaTkTETE002030π2π4π2kA£FATnnSa()02周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为0nF2240n(a)02240n(b)n若把相位为零的分量的幅度看作正值，而把相位为的分量的幅度看作负值，那么左图即可合二为一，如下图所示nF200n24周期矩形信号的双边频谱周期信号的频谱的特点(1)离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表示，所以有时又称为线谱。(2)谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性已经说明了离散性。(3)收敛性：谱线幅度随而衰减到零。n在右图中，连接各谱线顶点的曲线称为谱线包络线，它反映了各分量的幅度变化规律。如果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰称为主峰。通常把包含信号主要频谱分量的这段频率范围，称为矩形脉冲信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为2B或1fBnF200n24FAT02上图的主峰高度，包络主峰两侧第一个零点为频谱的有效宽度-频带宽度20~周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系nFnFnF000ttt2222T4T8TT保持周期矩形信号的周期而改变脉冲宽度12T2则此时谱线间隔频谱中的第一个过零点频率因即信号的频带宽度增大，并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若增大，则反之。不变不变的减小而增大，nFnFnFttt0002222T4T8T周期矩形脉冲的频谱随周期的变化而变化的关系T当脉冲宽度保持不变，增大周期12T(1)离散谱线的间隔隔变小即谱线变得更加密集ATT(2)各谱线的幅度因包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢的增大而变小2(3)因不变，第一个零分量频率不变，即有效频谱宽度不变周期矩形脉冲信号的频谱f(t)t0E22-TT)2(0)2()(1ttEtfntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSax(t)Fnnt002424E22T-T112T)(,1110TnSaTEFTEFn周期矩形脉冲的频谱分析表明离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按包络线变化。过零点主要能量在第一过零点内。主带宽度为：)(1TnSam22B周期矩形的频谱变化规律：T22112T12若τ不变，在改变T时的情况若T不变，在改变τ的情况下：对称方波是周期矩形的特例T1T1/4-T1/4)(tx实偶函数....5cos513cos31cos2)(111tttEtf)(11TnSaTEFn周期矩形奇谐函数对称方波奇次余弦ntjnneFtf1)(对称方波的频谱变化规律TT/4-T/4113151513113nnana)(tx奇次谐波17000周期矩形信号的频谱特点sinSa()xxx2B(4)频带宽度：第一个零分量频率：(3)不变，T增大时，相邻谱线的间隔变小；同频率分量的谱线幅度减小。(2)频谱具有离散性、谐波性和衰减性（1）频谱包络按照取样函数变化周期矩形信号的频谱特点(6)减小时，频带宽度增大。当趋近于无穷小，频带宽度也无限增大，此时信号能量不再集中于低频分量中，而是均匀分布在整个频段。(5)如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。1）三角形式：100)cos()(kkktkAAtf)0(0k0j()ntnnftFe2）指数形式：)(0k单边频谱双边频谱周期信号频谱的概念周期信号频谱的特点频谱由不连续的线条组成，每个线条代表一个正弦分量，因此这样的频谱称为离散频谱；（离散性）离散频谱的每条谱线，都出现在基波频率0的整数倍上；（谐波性）各条谱线的高度，即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。（收敛性）思考与练习()ft(32)ft1如何理解双边频谱，实际中存在“负频率”吗？的频带宽度为，则的频带宽度为（）。2周期信号的频谱具有（）、（）、（）的特点。3已知信号