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1图形的旋转【知识纵横】在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转解。旋转变换不改变图形的形状和大小。通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度。旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。【例题求解】【例1】（上海市中考）如图，在Rt⊿ABC中，已知∠C=900，∠B=500，点D在边BC上，BD=2CD，把⊿ABC绕着点D逆时针旋转m（0m180）度后，如果点B恰好落在初始Rt⊿ABC的边上，那么m=。思路点拨：因B点所落的边未确定，故需分类讨论。★【例2】（全国初中数学竞赛）如图，P是等边⊿ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（）A、2：3：4B、3：4：5C、4：5：6D、不确定思路点拨：由于PA、PB、PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。【例3】如图，在Rt⊿ABC中，AB=AC=2，∠BAC=900。将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE、PF分别与AC、AB相交于点N、M，连MN、AP，交于D点。（1）求证：PN=PM；（2）设线段AM的长为x，⊿PMN的面积为y，求y与x的函数关系式。★（3）当三角板旋转到=54时，求AM的长。2思路点拨：（1）从探寻⊿BPM与⊿APN入手；（2）S⊿PMN=S四边形ANPM-S⊿AMN；（3）可证明==。★【例4】（广州市中考）已知在Rt⊿ABC中，AB=BC，在Rt⊿ADE中，AD=DE，连接EC，取EC中点，连接DM和BM。（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BMￌDM；★（2）如图②中的⊿ADE绕点A逆时针转小于450的角，那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。★★【例5】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，求此正方形的边长。分析：【费马点问题：到每个顶点距离之和最小的点】本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA、EB、EC连接起来。【学历训练】A组1、（上海市中考题）如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为。3(1题)(2题)(3题)(4题)2、（青岛市中考题）如图，P是正⊿ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将⊿PAC绕点A顺时针旋转后，得到⊿P′AB，则点P与P′之间的距离为，∠APB=。3、（河南省中考题）如图，将⊿ABC绕点C（0，-1）旋转1800得到⊿A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A、（-a，-b）B、（-a，-b-1）C、（-a，-b+1）D、（-a，-b-2）★4、（2014.江西抚州）如图，两块完全相同的含300角的直角三角板ABC和⊿A′B′C′重合在一起，将三角板⊿A′B′C′绕其顶点C′按逆时针旋转α（00α≤900），有以下四个结论：①当α=300，A′C′与AB的交点恰为AB的中点；②当α=600，A′B′恰好经过B点；③在旋转过程中，存在某一时刻使得AA′=BB′；④在旋转过程中，始终存在AA′ￌBB′。其中所有正确结论的序号是。5、（2014.江苏苏州）如图，⊿AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2,）,底边OB在x轴上。将⊿AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得⊿A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A、（，）B、（，354）C、（，354）D、（，43）6、（2014.河北省）如图在⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=400，将⊿ABC绕点A按逆时针方向旋转1000得到⊿ADE，连接BD、CE交于点F。（1）求证：⊿ABD≌⊿ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形。★7、（2011.黑龙江）在正方形ABCD边AB上任取一点E，作EFￌAB交BD于点F，取FD中点G，连接EG、CG，如图4①易证EG=CG且EGￌCG.（1）将⊿BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将⊿BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.★8、（山东临沂市中考）如图，矩形ABCD中，∠ACB=300，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC、BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点分别为E、F。（1）当PEￌAB，PFￌBC时，如图①，则PFPE的值为。（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0α60）角，如图②，求PFPE的值。（3）在（2）的基础上继续旋转，当60α90，且使AP：PC=1：2时，如图③，PFPE的值是否变化？证明你的结论。B组9、如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转600，得四边形A′BCD′，下列结论：①四边形A′BCD′为菱形；②S四A′BCD′=21S正方形ABCD；③线段OD′的长为3-1。其中正确的5结论有（）A、0个；B、1个；C、2个；D、3个。★10、（天津市中考）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0）B（0，4），以点A为旋转中心，把⊿ABO顺时针旋转，得⊿ACD，记旋转角为α，∠ABO为β。（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当旋转后满足BC//x轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式。★★11、（2014.重庆市）如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEￌBD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF。（1）求AE和BE的长；（2）若将⊿ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿着BD方向所经过的线段长度）。当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；（3）如图②，将⊿ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0α180），记旋转中的⊿ABF为⊿ABF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q。是否存在这样的P、Q两点，使⊿DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ长；若不存在，请说明理由。6家庭作业★1、（2014.山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，将⊿ABO绕点A顺时针旋转到⊿AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上。再将⊿AB1C1绕点B1顺时针旋转到⊿A1B1C2的位置，点C2在x轴上。将⊿A1B1C2绕点C2顺时针旋转到⊿A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……若点A（35，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为。★2、（2014.湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为______．★3、（黑龙江齐齐哈尔）如图在Rt⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论：①BE+CF=22BC；②S⊿AEF≤41S⊿ABC；③S四边形AEDF=AD▪EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分。其中正确结论个数是（）A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。★4、（2011.义乌）如图①，在等边⊿ABC中，点D是边AC中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP.将⊿ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180），得到⊿A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、B1B于点E、F.（1）如图①，当0＜α＜600时，在α角变化过程中，是否存在⊿BEF与⊿AEP始终存在（填“相似”或“全等”），并说明理由.7（2）如图②，设∠ABP=β，当600＜α＜1800时，在α角变化过程中，是否存在⊿BEF与⊿AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由.（3）如图③，当α=600时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x,⊿A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.