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中北大学学位论文16第三章自适应滤波器及算法本章研究了自适应滤波器的基本原理和自适应滤波器的昀基本的但也是昀重要的自适应算法LMS算法。3.1自适应滤器的概述“自适应”广义上可以理解为一系统能自我调节某些特性以适应对象和扰动的动态变化特性，从而达到某一预期的目的状态，而这些状态又依赖于此系统的这些特性。自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型是不能完全确定的，其中包含一些未知因素和随机因素。而任何实际系统中都有不同程度不确定性，所以就需要运用自适应来控制。3.2自适应滤波器的基本原理3.2.1线性估计滤波器：线性估计理论是自适应滤波器的基础。线性估计滤波器如图3.1，它对输入信号进行整形，使输出信号与期望信号尽量近似，即误差信号尽量小，其中误差信号是期望信号和输出信号的差值。当误差信号昀小时，线性估计滤波器就达到昀优，即维纳滤波器（Wiener）。但维纳滤波器需要对输入信号的统计特性有预先的认识，然后得到固定的维纳滤波器。但在实际情况中往往不能预先得到这些认识，如在房间的回声抵消中，房间的回声是因具体情况（不同房间，不同温度等条件）而变的，并不能得到固定特性的回声，就不能预先得出维纳滤波器。这时就需要滤波器能够进行自我调节，同时利用输入信号和输出的误差信号来学习所需的统计特性，从而不断调节逼近并昀终收敛到对应的Wiener滤波器[14]。中北大学学位论文17FIR估计滤波器∑输入信号输出信号期望信号误差信号+-图3.1线性估计滤波器3.2.2自适应滤波器自适应滤波器就是解决上面问题的滤波器，从上可看出Wiener滤波器与自适应滤波器的区别就在于：自适应滤波器可看作是滤波器系数可变的线性估计滤波器，它也是让输出信号对期望信号进行昀优估计；Wiener滤波器则是滤波器系数固定的。自适应滤波器系数是不断更新的，即根据误差信号逼近进行调节逼近Wiener滤波器[15]。自适应滤波器∑输入信号输出信号期望信号误差信号+-图3.2自适应滤波器示意图自适应滤波器见图3.2，其中误差信号回馈给滤波器调节，这与上图的区别就是自适应滤波器的本质特点。自适应滤波器的基本结构如图3.3：中北大学学位论文181z−1z−1z−∑K(1)xn−()xn(1)xnN−+1()Nwn−1()wn0()wn∑()yn()en()dn⋅⋅⋅+-+++AdaptationAlgorithm图3.3横向自适应滤波器结构示意图这是自适应滤波器常用的横向结构。其中：x(n)是输入信号，表示了连续时间信号在tnT=时刻（简称n时刻）的离散采样值；1z−表示对输入信号进行单位延时；iw(n)(其中i=0~~N-1)是n时刻的自适应滤波器系数；N代表滤波器阶数；y(n)是n时刻的输出，可由下式得出：10()()()Niiynwnxni−==−∑d(n)是自适应滤波器的期望信号，即输出信号y(n)所要逼近的信号。e(n)是估计误差信号，()()()endnyn=−。结构图中可看出由输入信号和误差信号通过自适应算法（AdaptationAlgorithm）来调节和控制滤波器的系数iw(n)(其中i=0~~N-1)，从而使滤波器逼近Wiener滤波器。所以设计自适应滤波器的关键就是正确选择运用自适应算法。3.3自适应滤波器算法自适应滤波器使用性能函数(PerformanceFunction)来定量地衡量估计误差。因此，在数学上，自适应滤波算法是以昀小化性能函数为目的和准则的。性能函数的定义有两种途径：统计途径和确定途径。统计途径定义性能函数为估计误差的均方值，此时昀小中北大学学位论文19化性能函数，得到的是统计均方意义下的昀优解，当输入为平稳随机信号时，这个昀优解就是Wiener滤波器；确定途径定义性能函数为给定误差集合的加权平方和，昀小化性能函数可以得到给定数据集合下的昀优解，在平稳随机信号和大数据集合的情况下，昀优解将接近Wiener解[16]。与性能函数相应，自适应滤波算法分为两大类：统计途径类的算法和确定途径类的算法。每类算法经过推演变化又得到了许多不同特点的算法，下面对各种自适应滤波算法的分类和特点进行大致的介绍。统计途径类的算法是以均方误差昀小为准则的，主要代表算法是LMS算法，又可细分为以下三类算法：1LMS及其扩展算法LMS（LeastMeanSquare）算法是自适应滤波器算法中历史昀久，运用昀广，昀为基础的算法。它的优点是计算复杂度低，鲁棒性好，实现容易；缺点是其收敛行为高度依赖于输入信号的功率谱密度分布，当信号是白的，即功率谱平坦，LMS收敛速度很快，当信号高度有色，即功率谱起伏很大，LMS收敛速度很慢。LMS有许多扩展算法，但都具有LMS算法的缺点。LMS算法的结构还被运用到了其它类算法。2BLMS算法和FBLMS算法BLMS（BlockLMS）算法与LMS算法在性能上是相同，LMS算法是逐点进行的，而BLMS则是逐块进行的LMS算法。FBLMS（FastBlockLMS）算法是利用FFT来计算时域卷积的BLMS，可以大大降低计算量。FBLMS主要用于解决长阶自适应滤波器带来的大计算量问题。3变换域算法、子带算法和格型算法变换域算法（TransformDomainAdaptiveFilter，简称TDAF）、子带算法和格型算法都属于正交算法，用于解决LMS算法的缺点，它们将输入信号分为若干个相互正交的子带，在每个子带内进行功率归一，从而达到白化输入信号的目的，这样使得算法在有色信号下也能得到较快的收敛速度。确定途径类的算法是以给定误差集合的加权平方和昀小为准则的，主要代表算法是RLS算法，大致可以分为标准RLS算法、QRD－RLS算法和快速RLS算法三类。RLS类的算法的特点是它拥有很好的性能，它对输入信号的功率谱密度分布部不敏中北大学学位论文20感，其收敛速度要远快于LMS类的算法，但是它的缺点是计算复杂度大和算法稳定性差。本章主要介绍自适应滤波器的昀基本的但也是昀重要的自适应算法LMS算法。3.3.1维纳滤波器算法维纳滤波器（WienerFilter）是自适应滤波器（AdaptiveFiler）的基础，所以要了解自适应算法就需先了解维纳滤波器。在评价估计滤波器的性能时，引入了以下函数作为标准：()2Eenξ⎡⎤=⎣⎦其中的[]E是统计期望，ξ称为滤波器的性能函数（PerformanceFunction）、或代价函数（CostFunction）、或性能曲面（PerformanceSurface）。ξ越小则滤波器的性能越好，当调整滤波器的系数使得ξ达到昀小时滤波器也就达到了昀优，这就是均方误差准则（MeanSquareErrorCriterion，简称MSE准则）。定义滤波器输入矢量：()()()()T11nxnxnxnN=−−+⎡⎤⎣⎦xL（3.1）滤波器权值系数矢量：[]T011N−=wL（3.2）其中上标T表示矩阵转置运算符，则滤波器输出y(n)是：()()()()1TT0Niiynwxninn−==−==∑wxxw（3.3）则估计误差信号为：()()()nyndne−=()()Tdnn=−wx中北大学学位论文21()()Tdnn=−xw（3.4）性能函数是：()2Eenξ⎡⎤=⎣⎦()()TEenen⎡⎤=⎣⎦()()()()()()TTEdnndnn⎡⎤=−−⎣⎦wxxw()()()()()()()2TTTTEEEEdnndndnnnn⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−−+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦wxxwwxxw（3.5）定义1×N的互相关矢量：()()T011ENndnppp−⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦pxL（3.6）其中()()E0,1,1ipxnidniN=−=−⎡⎤⎣⎦L，定义NN×的自相关矩阵：()()TEnn⎡⎤=⎣⎦Rxx0001020,11011121,12021222,11,01,11,21,1NNNNNNNNrrrrrrrrrrrrrrrr−−−−−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLMMMOML（3.7）其中：()()E,0,1,,1ijrxnixnjijN=−−=−⎡⎤⎣⎦L得出：()2TTE2dnξ⎡⎤=−+⎣⎦wpwRw（3.8）求出使ξ昀小的权矢量就是昀优权矢量，即满足下式的w：00,1,21iiNwξ∂==−∂L（3.9）梯度表示式为：011Nξξξξ−Τ⎡⎤∂∂∂∇==⎢⎥∂∂∂⎦⎣0L（3.10）中北大学学位论文22这里的∇定义为：011N−⎡⎤∂∂∂∇=⎢⎥∂∂∂⎦⎣L（3.11）式（3.8）代入上式（3.10）得：2ξ∇=−=Rw2p0（3.12）得出：oRw=p（3.13）方程式（3.13）称为维纳－霍夫（Wiener-Hopf）方程，其解是ow：1o−=wRp（3.14）ow称为维纳解（Wiener-Hopf），当滤波器系数ow=w时，性能函数ξ昀小，也就是滤波器的输出()yn与期望输出()dn的均方误差昀小。所以，在昀小均方误差准则的意义下，ow是昀优解（OptimumSolution）。将式（3.13）和（3.14）代入式（3.8）得到昀小均方误差：2Tmino[()]dnξ=Ε−wp2Too[()]dn=Ε−wRw2T1[()]Edn−=−pRp（3.15）3.3.2昀陡下降法（MethodofSteepestDescent）上面给出了解维纳滤波器的方法，即利用维纳－霍夫（Wiener-Hopf）方程求出维纳解：1o−=wRp（3.16）但是，在实际处理中输入的自相关矩阵R和d(n)与x的互相关矢量p常常是不能得到的，即式（2.16）是不能确切解出的。所以，为了避免对Wiener-Hopf方程的直接求解，并中北大学学位论文23且利用性能函数ξ是w的二次函数的特性，实际运用中常采用特征值分散度搜索的方法来得到维纳解。昀陡下降法就是一种简单、常用、有效的特征值分散度搜索方法，可表示为(1)()kkkµξ+=−∇ww（3.17）w(k)是第k次特征值分散度的滤波器权矢量，kξ∇代表w=w(k)时的梯度矢量，µ为正的标量，称为更新步长（step-size），w(k+1)为第k+1次特征值分散度更新的滤波器权矢量。梯度矢量kξ∇总是指向性能函数ξ曲面的昀大上升方向，而kξ−∇必然反向为昀大下降方向。对于给定的初始值w(0)，选择合适的步长，沿昀陡下降方向进行搜索，w(k+1)可以无限逼近ow，所以称为昀陡下降法[17]。把式（3.12）代入式（3.17）得：()(1)()2()kkkµ+=−−wwRwp（3.18）进而得：()(1)2()2kkµµ+=−+wIRwp（3.19）其中I是NN×的单位矩阵。将o=pRw代入，并在两边同时减去ow，可得：()()oo(1)2()kkµ+−=−−wwIRww（3.20）定义滤波器权矢量误差为：o()()kk=−vww（3.21）代入式（3.20）得出：()(1)2()kkµ+=−vIRv（3.22）因为自相关矩阵R是厄密矩阵（转置共轭矩阵），且是正定矩阵，所以具有以下的一些数学性质：0,1,,1iiiiNλ==−RqqL（3.23）其中iq为1N×的特征矢量（Eigenvector），iλ为对应的特征值（Eigenvalue）。以上关系中北大学学位论文24可写成如下矩阵形式=RQQΛ（3.24）其中：011000000Nλλλ−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ΛLLMMOML[]011N−=QqqqL矩阵Q每一列是由相应的特征矢量iq组成，则有H=QQI，所以式（3.24）右乘一个HQ可得：H=RQΛQ（3.25）即自相关矩阵R可以分解为如上的三个矩阵相乘的形式，考虑实数的情况，则T=RQΛQ把分解代入式（3.22）：()TT(1)2()kkµ+=−vQQQΛQv()T2()kµ=−QIΛQv（3.26）定义如下正交变换（即KL变换）：T()()kk′=vQv（3.27）由()kv变换到()k′v，只是在空间中进行了坐标旋转。将式（3.26）左乘TQ则有()(1)2()kkµ′′+=−v