高数同济六版D5_习题课

目录上页下页返回结束习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章目录上页下页返回结束一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求.de1elim10xxxxnn解:因为时,xxnxe1e0所以xxxxnde1e100xxnd1011n利用夹逼准则得0de1elim10xxxxnn,nx目录上页下页返回结束1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对!因为依赖于,n且,10说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1如,P270题7xxxxnnde1elim10故没理由认为目录上页下页返回结束解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式nkknkn11πsin已知,π2dsinπ1πsinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知.π2Inknnknn11πsin1nknnk11πsin(1998考研)11limnnn例2.求目录上页下页返回结束思考:提示:由上题1sinlimπnIJnn11π)1(sinnnnn11π)1(sinlimnnnnnπ2π200故目录上页下页返回结束练习:1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：原式nn1limnini12)(11xxd111024π2.求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：原式nn1limnini121limnnnnini12xxd21011limnnnini12左边=右边目录上页下页返回结束例3.估计下列积分值解:因为41,412x∴xd2110xxd41102即216π目录上页下页返回结束例4.证明证:令则令得故目录上页下页返回结束例5.设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理))(1fq)()1(2fq10q当时,故所给不等式成立.明对于任何目录上页下页返回结束例6.且由方程确定y是x的函数,求解：方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得,3,1Cy得令故目录上页下页返回结束例7.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设f(x)≠0,则xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21目录上页下页返回结束注意f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfCxxf)cos2ln(21)(目录上页下页返回结束例8.求多项式f(x)使它满足方程解:令,txu则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:目录上页下页返回结束二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?目录上页下页返回结束例9.求解:令,sinetx则原式ttttdsincoscos6π2πtttdsinsin12π6π2tttd)sin(csc2π6π]coscotcscln[ttt6π2π23)32(ln目录上页下页返回结束tttcbcadcos99例10.选择一个常数c,使解:令,cxt则因为被积函数为奇函数,故选择c使)(cbca即2bac可使原式为0.目录上页下页返回结束例11.设解:xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xxxxde)1(31102322101)1(2)1d(e)1(612xxx10de6euuu01e)1(6euu)2(e61))1((2xu令1)12(222xxxx目录上页下页返回结束例12.如图,曲线C的方程为解:.d)()(302xxfxx032)()(xfxx是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分xxfxxd)()(302直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切xxfxd)()12(300)3(f(2005考研)03)()12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)]0()3([216ff204162)3(;2)0(ff＝043211234xO1l2ly)(xfyC目录上页下页返回结束例13.若解:令试证:xxfdπ0)(sin2π,πxt则ttftd)(sin)(π0πttfdπ0)(sinπttftd)(sinπ0xxfd)(sin2ππ0目录上页下页返回结束因为xxfd)(sin2π0对右端第二个积分令xtπxxfd)(sin22π0综上所述xxfd)(sin2ππ0目录上页下页返回结束例14.证明恒等式证:令则因此,)0()(2πxcxf又4π故所证等式成立.目录上页下页返回结束例15.试证使分析:即证xaxxgd)(故作辅助函数至少存在一点xaxxfd)(即xaxxgd)(xaxxfd)(目录上页下页返回结束证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(在上连续,在至少使即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点目录上页下页返回结束思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示:设辅助函数例15目录上页下页返回结束例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与相异的点,使baxxfaabfd)(2))((22(2003考研)目录上页下页返回结束证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.，又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在使),,(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2目录上页下页返回结束即)(2d)(22fttfabba(3)因0)()(ff)()(aff在[a,]上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得))((2d)(22afttfabba因此得baxxfaabfd)(2))((22例16题目录上页下页返回结束例17.设证:设且试证:ttfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()]()([2故F(x)单调不减,即②成立.②xattfd)(xatft)(d2)(ax目录上页下页返回结束作业P2694(1),(2);7;8(1);10(2),(5),(9);13第四节