高数同济六版课件D12_5幂级数的应用

目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版第五节一、近似计算二、微分方程的幂级数解法函数幂级数展开式的应用第十二章三、欧拉公式目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版一、近似计算mxxm1)1(2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1()11(x例1.计算5240.10432r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926.200741.03的近似值,精确到282811811131!2541313431518231!254112331!35941解:553243240514)1(331243354105.0目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版)11(432)1ln(432xxxxxx例2.计算2ln的近似值,使准确到.104解:已知故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln,31x于是有用此式求ln2计算量大目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931.01131111133113193414102.0787321在上述展开式中取前四项,目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版说明:在展开式中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得)1ln(n具此递推公式可求出任意正整数的对数.如53)91(51)91(319122ln25ln6094.1(n为自然数),53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版753)20π(!71)20π(!51)20π(!3120π20πsin例3.利用求误差.解:先把角度化为弧度9(弧度)52)20π(!51r5)2.0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646.0157080.03)20π(!3120π20πsin的近似值,并估计15643.0目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版(取例4.计算积分的近似值,精确到)56419.0π1解:1e2x!)1(20nxnnn)(xxxdeπ22210xdπ2210!)1(20nxnnn0!)1(π2nnnxxnd2021!1)(2x!2)(22x!3)(32x0!)1(π2nnn1221n)12(n目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版!3721!25213211π1642xdx221eπ20!3721!25213211π1642nnnnr22)12(!1π141042102)12(!πnnn则n应满足xxdeπ22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205.0目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例5.计算积分的近似值,精确到解:由于,1sinlim0xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间!)12()1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!551!)12()12()1(nnn3r00167.005556.01上连续,且有幂级数展开式:9461.0目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版二、微分方程的幂级数解法),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf202010)()(xxaxxayy代入原方程,比较同次幂系数可定常数,,,,21naaa由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法nnxxa)(01.一阶微分方程的情形目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例6.解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版2.二阶齐次线性微分方程问题定理:则在－RxR内方程②必有幂级数解:②设P(x),Q(x)在(－R,R)内可展成x的幂级数,(证明略)此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版例7.42)()2(xyyxxyx求方程的一个特解.解:设特解为代入原方程整理得41200)2()2)(1(2xxanannxaannnn比较系数得:,00a12634aa)4,2(0)2()2)(1(1nnanannnn可任意取值,因是求特解,故取,021aa从而得61,043aa当n4时,111nnana44)2)(1(1ann!)1(1n目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版因此nnxn4!)1(1,!1e0nnxxn)211e(2xxxyx注意到:此题的上述特解即为目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版三、欧拉(Euler)公式则称③收敛,且其和为)i(1nnnvu绝对收敛,1nnu)i(1nnnvu收敛.,1uunn,1vvnn若nnnvui1.ivu221nnnvu收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv③1nnv绝对收敛则称③绝对收敛.由于,故知欧拉目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版定义:复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数xe当x=0时,nnynyy242!)2()1(!41!211ycos12153!)12()1(!51!31nnynyyyysini的幂级数展式一致.目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版xxxsinicoseixxxsinicosei（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyOyxziyxzisinicosrier则欧拉目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版据此可得n)sini(cosnnsinicos(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证2121eeezzzz特别有yxie)sin(coseyiyx),(Ryxyxieyxiee)sini(coseyyxxerxxyyOyxzi第六节yxzisinicosrier作业P2911(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2)第七节目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版备用题1.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.(2002考研)解:(1)目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xyyye,1)0(y0)0(y其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版xe31代入初始条件可得故所求级数的和目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版2.解:内都可在)1,1(求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,故方程满足定理条件.设方程的解为,0kkkxay代入④:④22)1(kkkxakkkkkxakk2)1(kkkxak120)1(0kkkxann因方程特点,不用将P,Q进行展开定理目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版整理后得:0)1)(()1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数,得),1,0()1)(2()1)((2kakkknknakk例如:02!2)1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn目录上页下页返回结束2020/1/21高数同济六版于是得勒让德方程的通解:420!4)3)(1()2(!2)1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn)11(x上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,10,aa可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.