二次函数图象与字母系数的关系

二次函数图象与字母系数的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a＞0开口_____________________a＜0开口_____________________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负xyO222bxa112bxa问题2二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2yaxbxca1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，x＜0对称轴在y轴右侧，x＞01102bxa＜2202bxa＞x=0时，y=c.xyO442bxa332bxaa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x＞011=02bxa2202bxa＞x=0时，y=c.1.关于抛物线与a、b、c以及b²-4ac的符号关系：(1)开口方向由a决定；(2)对称轴位置由a、b决定，“左同右异”：对称轴在y轴左侧时，a、b同号，对称轴在y轴右侧时，a、b异号；(3)与y轴的交点由c决定，“上正下负”，c为0时图象经过原点.(4)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点由b²-4ac决定：①当b²-4ac＞0时，与x轴有两个不同交点；②当b²-4ac=0时，与x轴只有一个交点（顶点在x轴上）；③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；(5)抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代数式的正负：（1，a+b+c）,（-1，a-b+c）,（2，4a+2b+c）,（-2，4a-2b+c）,(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x－1可得2a－b＜0，故②正确；例2已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.2(1)bxbD范例研讨运用新知1.已知二次函数y=ax²+bx+c，如果a＞0，b＜0，c＜0，那么这个函数图象的顶点必在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D2.如图所示，二次函数y=ax²+bx+c的图象满足（）A.a0，b0，b2-4ac0B.a0，c0，b2-4ac0C.a0，b0，b2-4ac0D.a0，c0，b2-4ac0oxyA3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点P(a,bc)在第____象限.oxy三5.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A.c0B.2a+b=0C.b2-4ac0D.a-b+c0oxy-111D6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并且对称轴为直线x=1,那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c这四个代数式中，值为正数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个x=1C2223.10(2)20(3)420(4)()yaxbxcabcababcacb已知二次函数的图像如图，下列结论：（）其中正确的有几个？(6)判断2a+b与2a-b的正负经常由对称轴与±1的关系决定；7.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3C8.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCDC9.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的()1xAyO1xByO1xCyO1xDyOD10.同一坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（）yxyxyxyxABCDxD14.抛物线y＝ax2＋bx＋c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论正确的为（）：①c＜0；②a＋b＋c＞0;③a-b+c＞0;④b2－4ac＜0;⑤abc＜0;⑥4a＞c；•15.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相同；③4a＋b=0;④当y=－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4B15.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是()•A.①②B.①④C.①③④D.②③④B16.(黔东南中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc0；②ba+c；③4a+2b+c0；④b2-4ac0.其中正确的结论有()•A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④B•17.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.下列结论：•①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.•其中正确的结论有()•A.1个B.2个C.3个D.4个B3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1y2.其中正确的是（）23A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④xyO2x=-1B