二次函数实根分布(1)

一.函数零点一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.由此得出以下三个结论等价：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点实根分布问题★一元二次方程20(0)axbxca1、当x为全体实数时的根2(1)40bac当时，方程有两个不相等的实数根2(2)40bac当时，方程有两个相等的实数根2(3)40bac当时，方程没有实数根解：寻求等价条件例.m为何实数值时，关于x的方程（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负2(3)0xmxm22(1)4(3)0412062.mmmmmm，得：或1212062(2)006300mmxxmmmxx或得得：12062(3)3.030mmmxxm或得得：★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。24bac2bxa()fm2、当x在某个范围内的实根分布例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（1）两个根都小于1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布022)1(123204)3(2mfmabmm9mm221212()(0)0(0),()fxaxbxcaaxbxcaxxxx设一元二次方程的两根为(1)(kk方程两根都小于为常数）02()0bkafk例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布（2）两个根都大于120456)21(2123204)3(2mfmabmm165mm(2)(kk方程两根都大于为常数）02()0bkafk例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（3）一个根大于1，一个根小于1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布f(1)=2m-201mm12(3)(xkxk为常数）()0fk例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（4）两个根都在（0,2）内一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布023)2(0)0(223004)3(2mfmfmmm132mm112212(4)(,kxxkkk为常数）121202()0()0bkkafkfk例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（5）一个根小于2，一个根大于4一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布045)4(023)2(mfmf54mm112212(5)(,xkkxkk为常数）12()0()0fkfk（6）两个根有且仅有一个在（0,2）内例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（6）两个根有且仅有一个在（0,2）内一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布f(0)f(2)=m(3m-2)0003012fm203122fm203mm0当时m=9或m=1当m=9时x=-3不合题意当m=1时x=1满足题意（1）（2）（3）（4）1212(6),xxkk，有且只有一个根在（）内1k2k1k2k1k2k1k2k12()()0fkfk1202bkka或1121()022fkkkbka或2122()022fkkkbka或例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（7）一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布04)3(022)1(0)0(010)2(mfmfmfmfØ12(7)(,,,mxnpxqmnpq为常数）()0()0()0()0fmfnfpfq例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（8）两个正根一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布21212(3)40300mmxxmxxm10mm两根都大于0(8)方程有两个不相等的正根可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf也可()fxx1x2x01212000xxxx()fxx1x2x0(9)方程有两个不相等的负根可用韦达定理表达式来书写条件也可002(0)0baf(10)方程有一正根一负根可用韦达定理表达式来书写：ac0也可f(0)0法一：设由已知得：2()(3)fxxmxm24(3)0(1)0612mmfmm转变为函数，借助于图像，解不等式组01f(x)x1x2x法二：212121212124(3)06-2(1)(1)0()106(1)(1)020mmmmxxxxxxmxxxx或转化为韦达定理的不等式组变式题：m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.2(3)0xmxm222232011.xkxxkk例：（1）关于的方程有两实根，一个根小于，另一个根大于，求实数的范围12232,0,(2232)0,(1)0404.kfxkxxkkkkkkkkfk2：（）令()=由题（）0即或解2(2)(2)(21)01012.mxmxmm已知二次方程的两根分别属于（，）和（，）求的取值范围212101)(87)011221748001142mmmmmffmffm(-1)(0)()()解：由题(1(4)(2)例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程解的情况：223xxk24=434333.2kkkkkyxxyk：将方程视为两曲线与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时，无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx结论：21,(2),()()0.40()002()mnmnfmfnbacafmafnbmna（）一元二次方程有且仅有一个实根属于（）的充要条件是：一元二次方程两个实根都属于（）的充要条件是：20(0)axbxca一元二次方程在区间上的实根分布问题.22(3),4,,()0()040()0240()02,afmafnbacafnbnabacafmnmnmnmmbmn一元二次方程两个实根分别在（）两侧的充要条件是：（）一元二次方程两个实根分别在（）同一侧的充要条件是：分两类：（）在（）右侧（）在（）左侧a注：前提m,n不是方程（1）的根.课时小结：紧紧以函数图像为中心，将方程的根用图像直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围一个正根，一个负根且正根绝对值较大一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布02320)0(mabmf0mm1、已知集合是单元素集，求a的取值范围。2、设集合求m的取值范围。2(,)|1,Axyyxax(,)|3,03BxyxyxAB，若2|7100,Axxx2|(2)50,BxxmxmABB若作业: