第四章平面问题有限元及程序设计介绍

第四章平面问题有限元分析及程序设计§4.1平面问题单元离散§4.2平面问题单元位移模式§4.3平面问题单元分析§4.4平面问题整体分析§4.5平面问题有限元程序设计有限单元法及程序设计有限元网格划分的基本原则网格数目网格疏密单元阶次网格质量网格分界面和分界点位移协调性网格布局结点和单元编号网格自动剖分网格数量20万最小网格尺度150m最大网格尺度3500m平面问题单元：平面应力：三角形板平面应变：三棱柱平面问题结点：平面问题约束：平面问题荷载：三角形单元绞结点绞支座、链杆结点荷载和非结点荷载几个重要概念：§4.1平面问题单元离散基本量和方程的矩阵表示xyfff体积力xyfff面力应力xyxy应变xyxy基本量和方程的矩阵表示位移udv物理方程2101011002xxyyxyxyE简写为D只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理方程就可求出应力。几何方程：§4.2单元位移模式TyuxvyvxuTmmjjiievuvuvu有限单元法：未知量是结点的位移分量那么单元内任意一点的位移跟结点位移有什么关系呢？因此说，只要知道了位移场的分布，即可解决上述问题。i(xi,yi)位移模式：单元位移场分布形式§4.2单元位移模式iujujvivmumvxyj(xj,yj)m(xm,ym)),(yxfuu),(yxfvv),(iiuiyxfu),(jjujyxfu),(mmumyxfu),(iiviyxfv),(jjvjyxfv),(mmvmyxfv建立一个坐标系，如下图所示：假定位移模式如下所示：三个结点的位移也必定满足位移场函数，因此有：位移函数的选取是任意的，所选取的位移函数越接近于真实情况，所求得的形变和内力结果就越准确。yxu321最简单的位移场函数是线性函数，即：yxv654iiiuyx321iiivyx654jjjuyx321jjjvyx654mmmuyx321mmmvyx654位移模式的选取边界条件：在三个结点也应满足位移场函数；i结点j结点m结点其中，、、、、、是系数，由边界条件求得。123123§4.2单元位移模式§4.2单元位移模式写成矩阵形式123456100000011000=000110000001iiiiiijjjjjjmmmmmmxyuxyvxyuxyvxyuxyvyxu3212AiycxbaNiiimmiyaxyxjjmiyb1y1-jmixc1x1j位移模式的选取因此，、、是、、的线性函数；123iujumu同样，、、是、、的线性函数；455ivjvmv代入位移场函数，则是、、的线性函数，即：uiujumummjjiiuNuNuN其中，、、是系数，是、的线性函数；iNjNmNxy可以求得：mmjjiiyxyxyxA11121其中：注意：i,j,m必须是逆时针排列，否则面积为负。(i,j,m)同理，可求得、，且下标可轮换；jNmNmmjjiivNvNvNyxv654同理可得：§4.2单元位移模式j上式也可以写成：形函数的性质：mmjjiimmjjiyxyxyxyxyxyxN111111iiNjiNmiNjioiNoiNjiidsNAidxdyN(i,j,m)、、表明了单元的位移形态（位移在单元的变化规律）iNjNmN—称为形态函数，简称形函数、、是坐标(x、y)的线性函数；iNjNmNim11/21/3ji21A311002131(i,j,m)§4.2单元位移模式位移函数：mmjjiiuNuNuNyxu321mmjjiivNvNvNyxv654由于、、是坐标(x、y)的线性函数，iNjNmN),,(mjiuuu因此，u、v也是、的线性函数。),,(mjivvvjimiujumujimivjvmv§4.2单元位移模式因此，u、v在坐标空间应该为一平面。位移写成向量形式：mmjjiimmjjiivNvNvNuNuNuNvudmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNN000000eNdmmmjjjiiimmmjjjiiivNuvNuvNuvuNvuNvuN000000N称为形函数矩阵。§4.2单元位移模式有限元分析中，应力转换矩阵、刚度矩阵都是依赖于位移模式建立起来的，因此，位移模式必须能够反映弹性体的真实位移形态，才能得到正确的解答。位移模式需要满足的条件：（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能够反映单元的常应变；（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；必要条件充分条件yxu321yxv654xvvyuu0010u40v235刚体平动刚体转动作业：P1416-1§4.2单元位移模式53531222xyy53534622yxx单元应变§4.3平面问题的单元分析§4.3.1单元的应变向量xvyuyvxummjjiimmjjiimjimjivuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN000000mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbbA00000021由几何方程求。§4.3平面问题的单元分析§4.3.1单元的应变向量eBmmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021iiiiibccbAB0021可以简写为:mjiBBB其中:B是单元的应变矩阵，且:所以:(i,j,m)常量因此，单元应变是常数。所以，三角形单元又称为常应变单元。§4.3平面问题的单元分析§4.3.2单元的应力向量eBDDeeSBDmjiSSSSiiiiiiibccbcbAES2121)1(2221E1E单元应力由物理方程求。其中:其中:S是单元的应力矩阵，且:平面应力:平面应变:(i,j,m)常量因此，应力也与坐标无关，所以单元应力是常数。§4.3平面问题的单元分析单元性质分析位移是x、y的线性函数；误差是△x、△y的二阶小量；应变应力常量；相邻单元连续相邻单元不连续误差是△x、△y的一阶小量；提高精度方法：1）减小单元尺寸；2）采用高次位移函数，提高位移、应变和应力的精度；收敛速度和精度估计若单元的插值函数是完备而协调的，当单元尺寸不断缩小而趋于零时，有限元解将趋于真正解。在有些情况下，如果用于有限元场函数近似解的多项式能精确地拟合真正解，则在有限数目的单元划分（甚至仅仅是一个单元）的条件下，也能得到精确的解答。例如真正解是二次函数，若有限元的插值函数也包含了二次的完全多项式，则有限元解就能得到精确的解答。由此我们可以得到精度与单元尺寸的关系。例如位移可以展开成Taylor级数：iiiuuuuxyxy这只是形式上的精度估计，并不能对有限元解的误差做出具体的估计。而后者在实际分析工作中更有用。一般可以通过两种途径解决：单元结点力§4.3平面问题的单元分析§4.3.3单元的刚度矩阵TmymxjyjxiyixemjieFFFFFFFFFFeeSBDTmmjjiiemjievuvuvuTmmjjiiemjievuvuvu**********eB**单元结点位移单元应力向量：给定一个虚位移：单元虚应变：i(xi,yi)iujujvivmumvxyj(xj,yj)m(xm,ym)虚功原理:内力虚功等于外力虚功§4.3平面问题的单元分析§4.3.3单元的刚度矩阵eTeF*tdxdyFATeTe**eATetdxdyBDBFeektdxdyAT*tdxdyBDBAeTe*tdxdyBDBAeTTe*eATTetdxdyBDB*t为单元厚度由于虚位移是任意给定的可能位移，故：ek其中，是单元的刚度矩阵(6×6)；§4.3平面问题的单元分析emmemjemiejmejjejieimeijeiiekkkkkkkkkkAtBDBksTrerssrsrsrsrsrsrsrsrersbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1(42tdxdyBDBkATetdxdyBDBATtABDBT单元的刚度矩阵为：写成分块矩阵：其中：平面应力：平面应变：;,,mjir;,,mjis21E1E2111111222222111111222222112241iiiiiiiiijijijijimimimimiiiiiiiijijiijijmimiimimijijjijiebbccbccbbbccbccbbbccbccbbccbccbbbccbccbbbccbccbbbbccbccbEtkA111122221111112222221111122222jjjjjjjjjmjmjmjmijijijijjjjjjjjjmjmjjmjmimimmimijmjmmjmjmmmbbccbccbbbccbccbbccbccbbbccbccbbbccbccbbbbccbccbbbccbccbbbc12111111222222mmmmmimimimimjmjmjmjmmmmmmmmmcbccbbccbccbbbccbccbbbccbccbb写成元素矩阵：§4.3平面问题的单元分析ersk单元刚度矩阵的特点：1)对称性：esrk2)与单元尺寸无关，放大或缩小尺寸，单元刚度矩阵不变；3）奇异性：它不存在逆阵4）主元（对角线元素）恒正§4.3平面问题的单元分析单元①的刚度矩阵为：