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第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。十进制化n进制：倒取余数法。n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。特别地，n进制化na进制：从低位到高位，取a合一；na进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。例1．（1）把下列各数转化为十进制数。(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)(463)8=；(2BA)12=；(5FC)16=.（2）(1001101010111100)2=()4=()8=()16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5=，(251)6+(434)6=；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=()2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=()8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2=(11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。（2）进制下，135×24=3636成立。解：（1）答案：八进制因为算式中有数字5，所以最少是六进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余4，这样16往前进位，不是2、4，只能是8进制。（2）答案：七进制因为算式中有数字6，所以最少是七进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余6，这样14往前进位，不是2、只能是7进制。例4．已知六进制的abc化成九进制后可以写成cba，那么这个数写成十进制是。解：由已知得36a+6b+c=81c+9b+a，所以35a=3b+80c，其中a、b、c都是0到5之间的自然数，由于35a、80c都是5的倍数，所以b=5，代入得35a=15+80c，得7a=3+16c，解得c=2，a=5，所以原数是(552)6=212.模块二、位值原理初步：例5．一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是A，这个三位数A是。解：设三个数字分别为a≥b≥c，则最大的三位数是abc，最小的三位数是cba，abc−cba=99(a−c)，所以原来的三位数是99的倍数，99的倍数有198、297、396、495、594、693、792、891，这些数中，十位为9，百位数字与个位数字和为9，重新排列之后，最大的三位数的百位数字为9，最小的三位数的个位数字为9，而差的个位数字一定是m，9mn−nm9mm+n=9，10+n−9=m，即m=5，n=4，其中954−459=495，所以原数A=495.模块三、位值原理进阶：例6．一个六位数，把它的末三位和前三位整体替换，得到一个新六位数，并且，原六位数的7倍正好等于新六位数的6倍，则原来的六位数是。解：设原来的六位数是1000a+b，交换后为1000b+a，其中a、b都是三位数，得7×(1000a+b)=6×(1000b+a)，所以6994a=5993b，(6994，5993)=13，所以538a=461b，所以a=461，b=538，原来的六位数是461538.随堂练习1．(145)8化成十进制数是多少？十进制数90转化为七进制数是多少？解：(145)8=1×82+4×8+5=101.90=1×72+5×7+6=(156)7.2．在二进制中计算：(111)2×(101)2−(111100)2÷(11)2=.解：(111)2×(101)2−(111100)2÷(11)2=(100011)2−(10100)2=(1111)2.3．记号(25)k表示k进制的数，如果(5a)6在十进制中表示为(35)10，求a值。解：(5a)6=6a+5=35，解得a=5，4．在几进制中有4×13=100？解：进位制一定大于等于5，个位相乘3×4=12，进位之后余0，所以是六进制。检验(4)6×(13)6=(100)6.正确。5．三位数abc比三位数cba小99，若a、b、c彼此不同，则abc最大是多少？解：设cba−abc=99，所以99(c−a)=99，即c−a=1，若abc最大，取a=8，c=9，b=7，即abc=879.