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第八讲概率进阶模块一、古典概率模型：在投硬币的试验中，我们在试验之前不能确定是正面朝上还是反面朝上，但可以确定只会出现其中一种情况，这样的试验叫作随机试验。正面朝上和反面朝上发生的可能性是相同的，我们称它为等可能事件。概率的古典定义：如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的玫瑰基本结果出现的可能性是一样的；这样的试验称为古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率的定义为：()mPAn，其中n表示该实验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数。生活中有一些事情发生是不确定的（如：明天会下雨），这样的事件叫作不确定事件，概率是0到1之间的一个数；有一些事情是一定会发生的（如太阳从东方升起），这样的事件叫作必然事件，概率为1；有些事情是一定不会发生的（如掷骰子掷出7点），这样的事件叫作不可能事件，概率为0.例1．在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球，从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少？不是绿球的概率又是多少？解：（1）29；（2）79；（3）0；1；例2．有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张，那么这2张扑克牌花色相同的概率是；这2张扑克牌花色不同的概率是。解：从8张牌中任意取出2张的种类有2828C种，取出的牌花色相同的情况有4种，所以花色相同的概率是41287；花色不同的概率16177。模块二、几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何模型。几何模型的特点有下面两个：（1）无限性：试验中所有可能性出现的基本事件（结果）有无限多个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。例3．小明在玩飞镖，的镖盘如图所示，投掷对应区域得到对应的分数，小明投掷到镖盘每一点的概率一样，10分对应的圆直径为2，每向外一层则对应的圆的直径加2，投掷一镖后，假设小明没有脱靶，5678910（1）小明得到10分的概率是多少？（2）小明得到的分数大于7分小于10分的概率是多少？（3）小明最多得9分的概率是多少？解：（1）整个靶盘的半径为6，面积为36π，10分区域的半径为1，面积为π，所以1136P；（2）大于7分小于10分的区域是一个圆环，面积为9π−π=8π，所以282369P；（3）最多得9分的概率是313513636P。例4．用下图中两个均匀转盘进行“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出了红色，另一个转出蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使游戏对双方公平呢？解：若（1）盘为红色且（2）盘为蓝色，此时的可能为4455=1625，若（1）盘为蓝色且（2）盘为红色，此时的可能为1155=125，所以配成紫色的概率为16117252525，而配不成紫色的概率为1−1725=825，这个游戏不公平。若要公平：有如下几种方法：1．换两块板子，在每块板上涂红色的占一半，涂蓝色的占一半；2．改变得分比例，若配成紫色这小刚得8分；若配不成紫色，小明得17分；3．轮流坐庄，如约定共进行10轮转盘，前5轮，配成紫色小刚得1分，否则小明得1分；后5轮，配成紫色小明得1分，否则小刚得1分；模块三、综合问题：相关性事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的六个事件叫作相（2）（1）互独立事件；互斥事件：事件A与事件B不能同时发生，这样的六个事件叫作互斥事件，也叫做互不相容事件；对立事件：特别地如果事件A和B中必有一个发生，则称事件A和事件B为对立事件。概率中的加乘原理：加法原理：互斥事件A和B中至少有一个发生的概率等于A发生的概率加B发生的概率，记为()()()PABPAPB，特别地，对立事件A和B中至少有一个发生的概率为()()()PABPAPB=1.乘法原理：相互独立事件A和B同时发生的概率等于A发生的概率乘B发生的概率，记为()()()PABPAPB。例5．在某次考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束时，最容易出现个人优秀。解：甲、乙、丙三人优秀的概率分别为0.5，0.4，0.2，那么他们不是优秀的概率分别为0.5，0.6，0.8，如果恰好1人优秀则概率为1()()()0.50.60.80.50.40.80.50.60.20.240.160.060.46PPABCPABCPABC；如果恰好2人优秀则概率为2()()()0.50.40.80.50.40.20.50.60.20.160.040.060.26PPABCPABCPABC；如果恰好3人优秀则概率为3()0.50.40.20.04PPABC；若无人优秀，则概率为4()0.50.60.80.24PPABC，所以最容易出现的是恰好1人优秀。例6．用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为0.95，如果患者没有患肝癌，那么诊断出不是肝癌的概率为0.9，假设人群中肝癌患病率为0.0004，现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，那么他实际患有肝癌的概率是。（结果保留3位小数）解：如果李一个人患有肝癌，那么此时他被诊断出的患有肝癌的概率为0.0004×0.95=0.00038，被诊断出没有患肝癌的概率为0.0004×0.05=0.00002；如果一个人没有患肝癌，那么他被诊断出患有肝癌的概率为0.9996×0.1=0.09996，被诊断出没有患肝癌的概率为0.9996×0.9=0.89964，所以诊断出患有肝癌的人中确实患有肝癌的占0.00038，而没有患肝癌的占0.09996，所以李强实际患肝癌的概率为0.00038÷(0.00038+0.09996)=0.004.随堂测试1．分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？解：先后掷2次骰子，有6×6=36种可能，其中点数之和为6的有1+5、2+4、3+3、4+2、5+1，共5种情况，所以此时概率为1536P；而点数之积为6的有1×6、2×3、3×2、6×1，共4种情况，此时的概率为241369P。2．一辆肇事车撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌号是有2、3、5、7、9五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑中随机输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入车牌号恰好正是肇事车牌号的可能性是。解：概率为5511120PA。3．如果飞镖随意的投向下图所示正方形格点的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是（用分数表示）解：整个木板的面积是6×6=36，阴影部分的面积是5+(72−1)=7.5，所以恰好落在阴影部分的概率是7.553624P。4．转动如图所示的均匀转盘两次，每次指针都指向一个数字，两次所指的数字之和大于9，游戏者A获胜，否则游戏者B获胜，你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意作游戏者A还是游戏者B？为什么？解：两次的数字和有6×6=36种可能，两个数字之和最小是2，最大是12，它们所有的可能数分别是数字和23456789101112次数12345654321所以两次数字和大于9的只有6种可能，而小于等于9的有30种可能，显然不公平，如果作为游戏者，当然应该选择作为游戏者B。5．甲、乙、丙3人射箭，射中的概率分别为14，35，12，现3人各射一次，则只有一人射中的概率是。解：甲、乙、丙3人射箭，射中的概率分别为14，35，12；射不中的概率分别为34，25，12，654321于是恰好只有一人射中的概率是1121331321()()()4524524522961740404040PPABCPABCPABC。