小学六年级数学竞赛讲座第13讲 数论中的代数思想

第十三讲数论中的代数思想模块一、数论方程（一）：例1．已知248abcabc，则三位数abc=。解：设abc=x，则2×(4000+x)=10x+8，解得x=abc=999.例2．已知1787abcdabcaba，则四位数abcd=或。解：由题意知(1000a+100b+10c+d)−(100a+10b+c)−(10a+b)−a=1787，得889a+89b+9c+d=1787，比较得a=2或a=1，当a=1时，有89b+9c+d=898，b只能得9，有9c+d=97，此时即使c=9，得d=16，矛盾，舍去；当a=2时，有89b+9c+d=9，b只能得0，有9c+d=9，得c=0，d=9，所以abcd=2009.或c=1，d=0，此时abcd=2010.模块二、数论方程（二）：例3．已知AB，A、B的最大公因数为8，最小公倍数为64，即(A，B)=8，[A，B]=64，则A+B=。解：设A=8m，B=8n，m、n互质，则8mn=64，解得mn=8，8=1×8=2×4，所以m=1，n=8，得A=8，B=64，所以A+B=8+64=72.例4．已知自然数x，y满足：xy，x+y=70，[x，y]+(x，y)=98，则x=，y=.解：设x=am，y=an，(m、n互质)，所以[x，y]=amn，(x，y)=a，有amn+a=a(mn+1)=98，98=1×98=2×49=7×14，当a=1时，则m+n=70，mn+1=98，mn=97，只能是m=1，n=97，无整数解；当a=2时，2m+2n=70，所以m+n=35，mn+1=49，mn=48，无整数解；当a=7时，7m+7n=70，m+n=10，mn+1=14，无整数解，当a=14时，14m+14n=70，m+n=5，mn+1=7，mn=6，所以m=2，n=3，得到x=2×14=28，y=3×14=42.模块三、数论方程综合：例5．已知A4=75600×B，其中A、B为正整数，那么B的最小值是。解：75600=24×33×52×7，所以当B=3×52×73=25725时，A是正整数。例6．已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值是。解：11011=7×112×13，所以11011×28=22×72×112×13，为了使ABC两两互质必须使两个因子两个因子两个因子11都分别属于同一个合数。以两个因子2为例即两个因子2要么都属于A，要么都属于B，要么都属于C，否则A、B、C当中必然有两个含有因子2，就不满足两两互质的已知条件了。又因为A、B、C都是合数，所以A、B、C都至少含有2、7、11、13当中的1种因子。将4种因子分配给3个合数由抽屉原则可知，必有一个合数含有2种因子。此时，其他两个合数必只含有一种因子。又因为因子13只有一个，所以A、B、C必定分别含有两个因子2，两个因子7，两个因子11。所以不妨令两个因子2属于A，两个因子7属于B，两个因子11属于C。那么此时就只有一个因子13还没有分配了。当因子13属于A时，A+B+C=2×2×13+7×7+11×11=52+49+121=222；当因子13属于B时，A+B+C=2×2+7×7×13+11×11=4+637+121=762；当因子13属于C时，A+B+C=2×2+7×7+11×11×13=4+49+1573=1626；所以A+B+C的最大值是1626。随堂测试1．若526abab，则ab为多少？解：设ab=x，则500+x=26x，解得x=20，即ab=20.2．已知2008abcdabcd，则四位数abcd是多少？解：由题意1001a+101b+11c+2d=2008，若a=2，则101b+11c+2d=6，于是b=0，c=0，d=3.所以abcd=2003.若a=1，则101b+11c+2d=1007，b=9，有11c+2d=98，c=8，得2d=10，d=5，所以abcd=1985.答：abcd是1985或2003.3．两个自然数A、B满足：(A，B)=7，[A，B]=210，A+B=77，求这两个数。解：77=7×11，设A=7m，B=7n，mn，m，n互质，所以7mn=210，mn=30，A+B=7(m+n)=77，m+n=11，m=5，n=6，所以A=5×7=35，B=6×7=42.4．已知自然数x，y满足：x−y=2，[x，y]−(x，y)=142，求x、y。解：设x=ma，y=na，mn，m、n互质，x−y=a(m−n)=2，只能是a=1，m−n=2或a=2，m−n=1，当a=1，m−n=2时，[x，y]=xy，(x，y)=1，于是xy−1=142，即xy=143=11×13，所以x=13，y=11.当a=2，m−n=1时，[x，y]=2mn，(x，y)=2，于是2mn−2=142，即mn=72=8×9，所以x=18，y=16.5．两个整数A、B满足：(A，B)+[A，B]=187，并且已知(A，B)不等于1，也不等于A或者B，那么A+B等于多少？解：设A=ma，B=na，a1，m、n互质，则(A，B)=a，[A，B]=amn，所以a+amn=187，即a(mn+1)=187=17×11，所以a=11或a=17，当a=11时，mn+1=17，mn=16=2×8=4×4，无论是哪一种情况都不会互质，舍去；当a=17时，mn+1=11，mn=10=2×5，令m=2，n=5，得A=2×17=34，B=5×17=85.A+B=34+85=119。