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第十五讲变速问题模块一、单人变速问题：例1．甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米，问他走后一半路程用了分钟。解：设某人用时为2t分钟，则80t+70t=6000，解得t=40分钟，全程为80分钟，前一半路程3000米都是用80米/分钟的速度行驶的，用时为3000÷80=37.5分钟，所以后半程用时为80−37.5=42.5分钟。解2：设某人用时为2t分钟，则80t+70t=6000，解得t=40分钟，全程为80分钟，后一半路程3000米中，有40分钟是以70米/分钟的速度走的，走了2800米，还有200米是用80米/分钟的速度走的，用时200÷80=2.5分钟，所以共用时42.5分钟。例2．小明从家里到学校有两条一样长的路，一条是平路，一条是一半上坡路，一半下坡路。小明上学走这两条路所用的时间一样多，已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的倍。解：设小明走平路的速度是v，上学用时为t，于是全长为vt，下坡的速度是1.6v，下坡用的时间是852516vtvt，于是上坡用时为1116t，上坡的速度是11821611vttv。即上坡的速度是平路速度的811倍。例3．从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村到B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米，某人骑自行车从A村到B村用了2小时，在从B村返回A村又用了1小时45分钟，已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍，则A、C之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为千米/小时。解：设上坡的速度为v，则下坡的速度为2v，设AC=x，则BC=20−x，202220724xxvvxxvv，得220474022xxvxxv，解得128xv，即AC是12千米，上坡的速度是8千米/小时。模块二、多人变速问题：例4．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道同一地点向相反方向跑去。相遇后，甲比原来的速度增加2米/秒，乙比原来的速度减少2米/秒，结果都用24秒回到原地，求甲原来的速度。解：由题意，甲用原速跑的一段路，乙是用原速减少2米/秒的速度跑的，乙用原速跑的一段路甲是用原速加上2米/秒跑的，而且最后所用的时间相同，所以甲的原速=乙的原速−2，设甲的原速为v，乙的原速为v+2，相遇后两人合跑一圈用24秒，即24v+24(v+2)=400，2v+2=503，v=221733米/秒。例5．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人的速度比是4:5，相遇后，如果甲的速度降低25%，乙的速度提高20%，然后继续沿原方向行驶，当乙到达A地时，甲距离B地30千米，那么A、B两地相距千米。解：设甲的速度是4v，乙的速度是5v，A、B两地之间的距离为x，则相遇点距离A地49x处，速度改变后甲的速度是4v×(1−25%)=3v，乙的速度是5v×(1+20%)=6v，此时乙的速度是甲的速度的2倍，乙走了49x千米，甲走了29x千米，离开B地还有39x千米，所以39x=30，得x=90(千米).例6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，5小时后相遇在C点；如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇点E距C点5千米，那么甲原来的速度是每小时千米。解：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，全程为5×(V甲+V乙)，第二次乙的速度提高为V乙+4，则5105104VVVV甲乙乙甲，得V甲=V乙+4，第三次甲的速度提高为V甲+3，则55553VVVV甲乙乙甲，得2V乙=V甲+3，解得V甲=11千米/小时。随堂测试1．邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。它上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？解：12÷4+8÷5+1+8÷4+12÷5=10（小时），答：回到邮局时是下午5时。2．上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地，那么乙从B地出发时是8点多少分？解：相遇之后，乙经过10分钟走到A地，这是甲开始20分钟所走的路程，所以乙的速度是甲原来速度的2倍，后来甲的速度提高到原来的三倍，10分钟走了原来30分钟的路程，而乙走这段路程需要15分钟，所以乙应该是8点20前15分钟，即8点5分从B地出发的。3．A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A、B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇；如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？解：由题意，相遇时，甲走了7200−2400=4800米，乙走了2400米，所以甲的速度是乙的2倍，设乙的速度为v，则甲的速度为2v，需要用时7200÷(2v+v)=2400v，现在乙的速度提高为3v，相遇用时为7200÷(2v+3v)=1440v，5V255V1+5CBADABC5V1105V2+105V25V1ECBA所以2400v−1440v=10，解得v=96（米/分钟），所以甲的速度是192米/分钟。解2：第一次相遇点在离B点2400米处，甲走了7200−2400=4800米，所以所以甲的速度是乙的2倍，第二次乙的速度提高到原来的3倍，此时甲、乙的速度比是2:3，相遇时甲走了7200×223=2880（米），所以甲第二次比第一次少走了4800−2880=1920（米），时间少用了10分钟，所以甲的速度是1920÷10=192（米/分）。4．甲、乙两人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到达的地方，此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。那么甲每小时行米。解：由题意，乙步行2小时走过的距离等于甲步行2小时15分钟走过的距离，即他们的速度比是V甲:V乙=2:214=8:9，设甲的速度为8v，乙的速度为9v，他们之间的距离是34×8v=6v，乙的速度增加为(9v+500)，所以3×(9v+500−8v)=6v，解得v=500米/小时，所以甲的速度是8×500=4000米/小时。5．甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛。两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快14，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点，问：甲、乙两人谁先到达终点？解：甲比乙领先一圈时，用时为400÷(400−360)=10（分钟），此时甲已经跑了4000米，还有6000米，甲的速度增加到每分钟418米，还需要用6000÷418=14.35（分钟）。乙已经跑了3600米，还有6400米，乙的速度增加为360×(1+14)=450米/分钟，还需要用6400÷450=14.22分钟，所以乙先到达终点。