第三章 随机变量的数字特征

1第三章随机变量的数字特征教学内容：本章主要讲述离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量的函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念，方差的计算，方差的性质；协方差及相关系数的定义，协方差与相关系数的性质，矩等内容。教学重点：1、理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算；2、了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差；3、了解矩、相关系数的概念及其性质与计算。教学难点：1、数学期望与方差的概念、性质与计算；2、矩、相关系数的概念、性质与计算。第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征。例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好。从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌。这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征。本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数。第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望先看一个例子。现有两个抽奖活动，其中一个活动的中奖率为21，奖额为10元；另一个活动的中奖率为1001，奖额为1000元，试问那一种更能吸引人？此例说明，对一种以数字表示结果的随机现象，有必要在考虑概率的同时也考虑有关的值。对本例来说需要考虑两者的平均效益是多少。对第一个抽奖活动来说，在大量次参加的条件下，有一半得到10元，另一半毫无所获。所以其平均效益为：10×21+0×21=5（元）。对第二个抽奖活动来说，其平均效益为：1000×1001+0×10099=10（元）。所以选择第二个是明智的。再看一个例子：经过长期观察积累，某射手在每次射击中命中的环数服从分布：205678910()iPx00.050.050.10.10.20.5（其中0表示脱靶）一种很自然的考虑是：假定该射击手进行了100次射击，那么，约有5次命中5环，5次命中6环，10次命中7环，10次命中8环，20次命中9环，50次命中10，没有脱靶的。从而在一次射击中，该射手平均命中的环数为1(1050920810710655500)8.85100(环)这里的“平均效益”在概率统计里便称为期望值，由此引进如下定义：定义1设为一离散型堕机变量，其分布列为iipxP)(,(1,2,)i，若级数1iiipx绝对收敛，则称这级数为的数学期望，简称期望或均值.记为E，即E=1iiipx（1）否则，称的数学期望不存在。在定义1中，要求1iiipx绝对收敛是必需的，因为的数学期望是一确定的量，不受iipx在级数中的排列次序的影响，这在数学上就要求级数绝对收敛。的数学期望也称为数ix以概率ip为权的加权平均。【例3.1】设随机变量服从0—1分布：)1,0(,)1()(1kppkPkk，求E。解：E=ppp)1(01【例3.2】设随机变量～B(n,p)，求E。解：因为),,2,1,0()1()(nkppCkPknkkn，所以E=nkknkknppCk0)1(npppnpppCnpppknknppCknnkknkknnkknknkknkkn11)1()1(11111)1()1()1()!()!1(!)1(【例3.3】设随机变量～)(P，求E。解：因为,2,1,0,!)(kkekPk，3所以E=0!kkkek=eekekk.)!1(11【例3.4】应用数学期望提高工作效率在一个人数很多（N个人）的单位中为普查某种疾病而进行验血。可以采用两种方法验血：（1）每个人的血分别化验，要化验N次；（2）把k个人的血混在一起进行化验，如果结果是阴性，那么对这k个人只作一次化验就够了；如果结果是阳性，那么必须再对这k个人逐个分别化验，亦即对这k个人共作k+1次化验。假定对所有人来说，化验结果为阳性的概率都是p，而且这些人对化验的反应都是相互独立的，试说明方法（2）较方法（1）能减少化验次数。解：设q=1p，则k个人的混血化验结果呈阳性的概率为kq1。用方法（2）验血时，每个人的血需要化验次数设为随机变量，则的概率分布为:k1k1+1piqk1­qk因此kqqkqkEkkk11)1(111于是N个人需要化验次数的期望值为)11(kqNk，显然，当0)1(kqk时，方法（2）较方法（1）所减少的化验次数为)1(kqNk。例如，当4,1.0kp取时，4.025.09.014kqk，即采用方法（2）可比方法（1）减少40%的工作量。二、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量的概率密度为)(xf，若xxxfd)(绝对收敛，则定义的数学期望E为:E=xxxfd)(【例3.5】设随机变量～U(a,b)，求E。解：因为其它,0,1)(bxaabxf所以E=)(21dd)(baxabxxxxfba4【例3.6】设随机变量服从参数为的指数分布，求E。解：因为0,0)0(,0e)(xxxfx所以E=1dd)(0xxexxxfx【例3.7】设随机变量～N(2,)，求E。解：E=xxxxxfxde21d)(222)(令,xt则有：ttEtde)(2122tttttde2de22222三、随机变量函数的数学期望我们可以通过下面的定理，直接利用随机变量的概率分布或概率密度，来求随机变量的函数)(g的数学期望。定理3.1设)(g是随机变量的函数，)(xg为连续实函数。（1）设是离散型随机变量，其概率分布为),2,1(,)(ipxPii，若级数1)(iiipxg绝对收敛，则1)()(iiipxgEgE（2）设是连续型随机变量，其概率密度为)(xf，若xxfxgd)()(绝对收敛，则5xxfxgEgEd)()()(【例3.8】设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)解：因为2x2e21)x(f所以有dxe2x)X(E2x2222x2de2x1dxe212x2dxe2x30dxe2x)X(E2x22x3322dxe2x)X(E2x4422x32de2xdxe2x32x22=3【例3.9】设随机变量服从参数为λ=1的指数分布，2e求E。解：因为0,00,e)(xxxfx所以有34dedede)e(d)()e(030022xxxxxxxfxExxxxx上述定理推广到二元随机变量的函数的数学期望，便有:定理3.2设),(g是二元随机变量),(的函数，),(yxg为连续实函数。（1）设),(是离散型随机变量，其联合概率分布为jipyxPijji,(),(),2,1，若级数1),(iijjipyxg绝对收敛，则11),(),(jijjiipyxgEgE（2）设),(是连续型随机变量，其概率密度为),(yxf，若yxyxfyxgdd),(),(绝对收6敛，则yxyxfyxgEgEdd),(),(),(【例3.10】设随机变量),(服从D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴与直线12/yx所围成的区域（如图3-1），求,及的数学期望。解由于的),(联合密度为其它,0),(,1),(Dyxyxf则由定理3.2有:DyxxyxyxxfEdddd),(31d)1(2dd1022010xxxyxxxDyxyyxyxyfEdddd),(32d)1(2dd21022010xxyyxxDyxxyyxyxxyfEgEdddd),(),(61d)1(2dd21022010xxxyyxxx四、数学期望的性质数学期望具有下列性质（设下列的数学期望均存在）：（1）cEc；（2）cEcE)(；（3）EEE)(；（4）若与相互独立，则EEE)(。性质（4）证明对于性质(4)，由随机变量独立性的充要条件知，当与相互独立时，其联合密度与边缘密度的关系式为：)()(),(yfxfyxf故有yxyxxyfEdd),()(12yxO12yx图3-17EEyyfyxxfxyxyfxfxyd)(d)(dd)()(【例3.11】某车间有三台设备，运转中每台设备需要停机维修的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各台设备的状态相互独立，以表示同时需要停机维修的设备台数，求E。解法一设Ai表示第i台设备需要停机维修事件（i=1，2，3），则由独立性有：092.0)()2(398.0)()1(504.0)()()()()0(321321321321321321321321AAAAAAAAAPPAAAAAAAAAPPAPAPAPAAAPP006.0)()()()()3(321321APAPAPAAAPP于是E=6.0006.03092.02398.01504.00解法二令)3,2,1,0,1iiii（第第台设备不需维修台设备需维修则321,,相互独立，且321。又因为：3.07.003.012.08.002.011.09.001.01321EEE所以6.0321EEEE小结通过这讲的学习我们要牢固掌握离散型随机变量和连续型随机变量的计算公式，灵活运用这两个公式计算函数的数学期望。另外，对积分内容掌握薄弱的同学，请回去复习高数的相关内容，从而更好掌握这节的内容。8第二节方差数学期望虽然能描述随机变量的集中位置，但是就统计意义而言尚不够精确。例如，随机变量与的概率分布分别为：­101p0.20.60.2­10010P0.40.20.4虽然它们都有0EE，但是的集中程度显然比的集中程度高，或说比更分散。因此为了刻画随机变量的集中程度或分散程度，我们还要讨论随机变量的方差。先引出矩的概念。一、矩定义3.2（1）设为随机变量，若kE存在（k为正整数），则定义的k阶原点矩km为:kkEm（2）设为随机变量，若kEE)(存在（k为正整数），则定义的k阶中心矩k为:kkEE)(（3）设，为随机变量，若])()[(lkEEE存在（k,l为正整数），则定义与的k+l阶混合中心矩为:])()[(lkEEE若是离散型随机变量，且其概率分布为),2,1()(ipxPii，则ikiikikiikpExpxm)(,若是连续型随机变量，且其概率密度为f(x)，则xxfExxxfxmkkkkd)()(d)(