2.1能带--半导体物理

一、孤立原子中的电子状态1.单电子原子m0为电子惯性质量，q是电子电荷，h为普朗克常数，ε0是真空中介电常数。2222040nn113.6n1hε8qmE1,2,3...n•根据上式可以得到图2.1所示的氢原子能级图。•表明孤立原子中电子能量是不连续的，电子能量是各个分立的能量确定值，称为能级，其值由主量子数n决定。图2.1氢原子能级图2.多电子原子对多电子原子，电子能量同样是不连续的。由主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数描述。二、自由电子状态（一维）一维恒定势场中的自由电子，遵守薛定谔方程(x)ψE(x)ψVdxψ(x)d2m2202ikxAeψ(x)如果势场V=0，则此方程的解为代表一个沿方向传播的平面波，k具有量子数的作用。其中Ψ(x)为自由电子的波函数，A为振幅，k为平面波的波数，，λ为波长。规定k为矢量，称为波矢，波矢k的方向为波面的法线方向。/2kυP0m)2m/(PE02kPhE由粒子性有又由德布罗意关系因此0mkυ0222mkE由此可得到图2.2所示的E~k关系。随波矢k的连续变化自由电子能量是连续的。图2.2自由电子的E~k关系三、半导体中的电子状态与能带•单电子近似假设晶体中电子是在严格周期性重复排列并且固定不动的原子核势场和其它电子的平均势场中运动•因此晶体中的势场必定是一个与晶格同周期的周期性函数•那么一维条件下晶体中电子的薛定谔方程为sa)V(xV(x)(x)Eψ(x)V(x)dxψ(x)dm22202式中s为整数，a为晶格常数。布洛赫定理指出上式的解必有下面的形式)()()()(naxuxuexuxkkikxkk讨论：1）布洛赫波函数Ψk(x)与自由电子波函数Ψ(x)形式相似，都表示了波长是、沿k方向传播的平面波；但晶体中电子是周期性调制振幅uk(x)，而自由电子是恒定振幅A；/2k其中n为整数，a为晶格常数。Ψk(x)就称为布洛赫波函数。2）自由电子|Ψ(x)Ψ(x)*|＝A2，即自由电子在空间等几率出现，也就是作自由运动；而晶体中的电子|Ψk(x)Ψk(x)*|＝|uk(x)uk(x)*|，是与晶格同周期的周期性函数，表明晶体中该电子出现的几率是周期性变化的。这说明电子不再局限于某一个原子，而具有从一个原子“自由”运动到其它晶胞对应点的可能性，称之为电子在晶体中的共有化运动。3）布洛赫波函数中波矢k也是一个量子数，不同的k表示了不同的共有化运动状态。这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。零级近似这个模型的基本思想是：模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动（价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。这里的弱周期场设为，可以当作微扰来处理，即：(1)零级近似时，用势场平均值代替弱周期场V(x)；(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏做为微扰处理。为简单起见，我们讨论一维情况。准自由电子近似：设想把一个电子“放到”晶体中去，由于存在晶格，电子波的传播要受到格点原子的反射。一般情况下各个反射波会有所抵消，因此对前进波不会产生重大影响。•当满足布喇格反射条件时，就会形成驻波。一维晶体的布喇格反射条件为n=±1，±2…•因此其定态一定为驻波。ank/能带序号k的范围k的长度布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区——一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系对称性E（k）=E（-k）a2πnkEkE周期性它表明原先自由电子的连续能量由于晶格的作用而被分割为一系列允许的和不允许的相间能带。因此晶体中电子状态既不同于孤立原子中的电子状态，又不同于自由电子状态，晶体中电子形成了一系列相间的允带和禁带。3)禁带的宽度——取决于金属中势场的形式能带及一般性质自由电子的能谱是抛物线型——晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度的禁带——发生能量跃变——在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近一个能带中有多少个能级呢？因一个布里渊区对应一个能带，只要知道一个布里渊区内有多少个允许的k值就可以了。对一维晶格，利用循环边界条件Ψk(L)=Ψk(0)，L=NaN是固体物理学原胞数，代入布洛赫波函数得到波矢k的取值因此波矢k是量子化的，并且k在布里渊区内均匀分布推广到三维zzyxnknknkL2L2L2zyyxx其中21,0,zyxnnn图2.5K空间的状态分布由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。——每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带——各能带之间是禁带,在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级------由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。