数列中的放缩法

用放缩法证明数列中的不等式放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niiak（k为常数）；②形如1()niiafn；③形如1()niiafn；④形如1niiak（k为常数）.一.放缩目标模型——可求和2311111()2222nnN求证：例1231232()2222nnnN求证：变式12311111()21212121nnN求证：变式2231232()2122232nnnnN求证：变式31(niiakk为常数）形（一）如不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.分析左边11(1)22112n112n12311111()2222nnN求证：例1表面是证数列不等式，实质是数列求和不等式左边可用“错位相减法”求和.分析由错位相减法得222nn2231232()2222nnnN求证：变式1表面是证数列不等式，实质是数列求和231232222nn左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析2311111()21212121nnN求证：变式2将通项放缩为等比数列注意到11212nn左边11(1)22112n112n12311112222n左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析注意到222nn2231232()2122232nnnnN求证：变式3231232222nn左边22nnnnn将通项放缩为错位相减模型【方法总结之一】放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1niia可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项na放缩后再求和.问题是将通项na放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的nb才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，nb大多是等比模型或裂项相消模型.201319)11111()133557(21)(21)2nnnN(广东文第(3)问求证：例222211112()23nnN求证：变式12221117(201319(3))1()234nnN广东理第：问求证变式222211151()233nnN求证：变式3左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.分析11(1)221n12201319)11111()133557(21)(21)2nnnN(广东文第(3)问求证：例2表面是证数列不等式，实质是数列求和111111[(1)()()]23352121nn左边1111()(21)(21)22121nnnn左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和.分析111n22()n保留第一项，从第二项开始放缩111111(1)()()2231nn左边21n22211112()23nnN求证：变式11(1)nn11()12nnn当n=1时，不等式显然也成立.变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？分析2221117(201319(3))1()234nnN广东理第：问求证变式2保留前两项，从第三项开始放缩思路一211(1)nnn左边111142n714n374()n211111111()()()223341nn111nn(3)n将变式1的通项从第三项才开始放缩.当n=1,2时，不等式显然也成立.变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？分析2221117(201319(3))1()234nnN广东理第：问求证变式2保留第一项，从第二项开始放缩思路二22111nn左边11111(1)221nn111(1)22274()n1111111(1)()()232411nn111()211nn(2)n将通项放得比变式1更小一点.当n=1时，不等式显然也成立.变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？分析保留前两项，从第三项开始放缩思路一左边1111111()42231nn11111()4223353()n2111111111()()()22243511nn22211151()233nnN求证：变式322111nn111()211nn(3)n将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.当n=1,2时，不等式显然也成立.变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？分析保留第一项，从第二项开始放缩思路二22144nn左边1112()321n1123253()n11111112()()()35572121nn112()2121nn(2)n将通项放得比变式2思路二更小一点.22211151()233nnN求证：变式32441n当n=1时，不等式显然也成立.评注放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！对21n放缩方法不同，得到的结果也不同.显然57234，故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式3，那么变式1和变式2就显然成立.对21n的3种放缩方法体现了三种不同“境界”，得到211nkk的三个“上界”，其中53最接近22116kk（欧拉常数）.【方法总结之二】放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.牛刀小试（变式练习1）*22211151()35(21)4nnN求证：证明21(21)n111(1)4n114254n1111111(1)()()42231nn14(1)nn(2)n2144nn111()41nn左边当n=1时，不等式显然也成立.（08·辽宁卷）已知：2(1),(1)nnannbn求证：.1122111512nnababab11(1)(21)nnabnn故1111111111()6223341niiiabnn51122(1)5.12n(2)n当时，有也成立．1n15612111()212(11)nnnn练习:已知数列中,求证:.{}na221nnna1(1)3niiiaa当时，有也成立．1n2322(1)(21)(21)(21)(22)iiiiiiiiaa111211(2)(21)(21)2121iiiiii21111111(1)2()()33(2)2121212121niinnniaan常见的裂项放缩技巧：)1(212n22112)1(2nnnnnnnnn)2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn)3()111(2)1(21212)1(1)(1)11(12n21210nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.右边保留第一项1111231001111231(2009200)0S珠海二求模理第(2)的整.问例数部分3分析不能直接求和式S，须将通项1n放缩为裂项相消模型后求和.122nn21nn2(1)nn21nn2(1)nn12(1001)19182(1011)18S的整数部分是思路为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个整数之间.分析思路左边32nn211111333n22331(2011113()3232322193(3))22nnnN求广东理第：问证例4利用指数函数的单调性放缩为等比模型∵23[1()]3nn123[1()]3n13n∴*111()323nnnnN11331213n左边不能直接求和，考虑将通项放缩为等比模型后求和,哪个等比数列的和接近32?分析左边32n21111(1)733n23111117()3214323232nnN求证：例4变式∵2=3(1)3nn223(1)3n273n∴211173(2)nnan1311(1)143n(2)n保留第一项，从第二项开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩为等比模型后求和？3171141(2)4n当n=1时，不等式显然也成立.【方法总结之三】一般地，形如nnnaab或nnaab(这里1ab)的数列，在证明12111nkaaa（k为常数）时都可以提取出na利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.已知数列中,求证:.{}na221nnna1(1)3niiiaa21112111(1)(2)2221222222iiiiiiiiiaai故2111111(1)233(2)2222niinniaan当时，有也成立．1n23(1)(2)122(1985)3(1)()22nnnnnnnN全国求：例证5分析不等式形如1()()niignafn，左、右两边的式子都是某等差数列的和，因此考虑将通项(1)nn放缩为等差模型后求和.显然不等式的中间是数列(1)nann的前n项和，设为nS，要证nnnTSR，则只要证nnnbac即可.(1)(2)1223(1)22nnnnnn思路nTnR123nnTbbbb123nnRcccc利用公式1(2)nnnbTTn易得：nbn，同理12ncn.因此，问题转化为只要证1(1)2nnnn1()niiafn二形（）如证明∵(1)nnn(1)2nn12n∴1223(1)nn1nkk(1)2nn11()2nkk(2)2nn评注用分析法寻找证明思路显得一气呵成！【方法总结之四】形如1()niiafn的数列不等式证明的思维策略：设nS