湖南城市学院-随机过程讲稿(10)

14.1白噪声4.2高斯随机过程4.3高斯随机过程的线性变换4.4常用时间序列模型第四章白噪声与高斯随机过程4.2.2平稳高斯过程的分布特性平稳高斯随机过程X(t)的一维概率密度函数和特征函数表示为：[定义4.4]设X(t)是高斯随机过程，如果它的均值为常数，相关函数为时间差的函数，即221exp22Xxmfx221exp2XCjm12(),(,)()XXXXmtmRttR则称X(t)为平稳高斯随机过程。对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为：2211122222122rKKKrKKr11rrr而r为相关系数矩阵：于是可以得到平稳高斯过程的二维概率密度为：1122211exp22TXfXXmrXmr21xxXmmm同理可以得到平稳高斯过程的二维特征函数为：21exp2TTXCjmr21类似于二维分布，可得X(t)的n维概率密度表示为：1212211exp22TXnfXXmrXmrnxxxX...21...mmmm1212122121...1..................1nnnnrrrrrKrr2,1,2,...,ijijrEXtmXtmiiij其中：同理可以得到平稳高斯过程的n维特征函数：1exp2TTXCjmrTn...21注意：从上述n维概率密度函数和特性函数表达式可以看出：高斯过程的统计特性只取决于它的一、二阶矩（均值和方差），如果它满足广义平稳，即它的均值为常数，而相关函数只与时间差有关，那么它的n为概率密度也只与时间差有关，而与时间的起始点无关，即满足狭义平稳的条件。因此，对于高斯过程而言，广义平稳与狭义平稳的概念是等价的。[定义4.5]若平稳高斯随机过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳高斯白噪声，也叫相关高斯态过程。在实际应用中经常遇到平稳高斯白噪声N(t)与有用信号S(t)之和的随机过程X(t)，即XtNtSt设N(t)的均值为0，方差为，则X(t)的一维概率密度表示式要从随机过程N(t)的角度来写，即222()1,exp22XxStfxt从上式可以看出，X(t)任为高斯过程，但此时的一维概率密度依赖于时间t。因此，一般平稳高斯噪声与信号之和是非平稳的高斯过程。高斯随机过程的性质10例题1：设平稳高斯随机过程X(t)的均值为0，自相关函数为。求t1=0，t2=1/2，t3=1时的三维概率密度。sinXR解：略。例题2：值20cos4.3.1高斯过程通过线性系统设随机过程X(t)通过冲激响应h(t)的线性系统，输出过程为Y(t),那么有：max00limintiiiiYtXhtdXht由此可见Y(t)在任意时刻是由许多随机变量线性组合而成的。对于任意n个时刻t1,t2,…,tn，设Yk=Y(tk)，Xk=X(τk)，则上述方程可以用多元线性方程组来表示：11111221221122221122............nnnnnnnnnnkikiiYlXlXlXYlXlXlXYlXlXlXlht用矩阵表示为：YLX1112111222122212...........................nnnnnnnnlllYXYXlllYXLYXlll那么X也可以用Y来表示：1XLY那么随机变矢量Y的概率密度为：1YXXfYJfXJfLY该式就是高斯随机过程通过线性变换后概率密度的一般表示式。式中的J为雅克比行列式1111222212121212......,,...,,,...,...............nnnnnnnnXXXYYYXXXXXXdXYYYJYYYdYXXXYYY高斯随机过程通过线性系统之后，其输出任然为高斯随机过程。输入过程与输出过程为联合高斯分布对于高斯随机过程，我们只要确定其均值和相关函数就能够确定其分布。设X(t)为均值是零的高斯随机过程，则有：111112211exp22TYXnfYJfLYLYKLYLK4.3.2随机过程的高斯化[定义4.7]随机过程的高斯化是指非高斯随机过程通过线性系统后，变换为高斯过程。max00limintiiiiYtXhtdXht就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量之和，其分布趋于高斯分布。因此，即使线性系统的输入过程X(t)是非高斯，根据公式系统输出Y(t)是许多随机变量之和，因此输出过程仍有可能逼近高斯分布。