第2章控制系统的数学模型(2-1)

青海大学化工学院第二章控制系统的数学模型主讲：师玉宝Email：[e-mail]：0971-5310424自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室第二章控制系统的数学模型内容：2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4*数学模型的实验测定法自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室重点知识：传递函数的基本概念；典型环节及其传递函数；系统结构图的等效变换以及传递函数的求取；梅逊增益公式在控制系统的应用。难点知识：系统结构图的等效变换、梅逊增益公式。重点与难点知识自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室数学模型：系统的输出变量与输入变量间的关系特性，即系统输出变量与输入变量间的数学表达式。·建模方法·数学模型的表示方法微分方程传递函数差分方程结构图频率特性实验法（辩识法）机理分析法自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室2-1控制系统的时域数学模型1.时域数学模型的建立方法现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写：自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室LCRCuru例1：电阻-电感-电容无源电路由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络,试列写以ui(t)为输入量,以uo(t)为输出量的网络微分方程。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC消去中间变量i(t),可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程dttiCtututRidttiCdttdiLCr)(1)(),()()(1)(解:设回路电流为i(t),由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为(1)自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室上式也可以写为)()()()(1222221tutudttduTdttudTTooo其中,T1=L/R,T2=RC。方程(1)和(2)就是所求的微分方程。这是一个典型的二阶线性常系数微分方程,对应的系统称为二阶线性定常系统。(2)自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度关系)()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdm例2：弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统k)(tFfm)(tx自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室例3：理想运算放大器一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路,电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量,试确定这个电路的微分方程式。图电容负反馈电路△∞＋－ui(t)Cuo(t)RR自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室解理想运算放大器正、反相输入端电位相同,且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有0)()(dttduCRtuoi整理后得)()(tudttduRCio(1)或为)()(tudttduTio(2)其中,T=RC为时间常数。方程(1)和(2)就是该系统的微分方程,这是一个一阶系统。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室总结：建立系统或元件微分方程数学模型的一般步骤（1）确定元件的输入量、输出量；（2）根据系统所在领域相关定理或定律如物理或化学规律等，列写微分方程；（3）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室线性系统的性质：具有叠加性、均匀性（齐次性）如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。叠加原理表明：一个输入的作用不影响另一个输入所引起的输出。2.线性系统的特性自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室3.线性定常微分方程的求解拉普拉斯变换和反变换(1)首先对微分方程进行拉氏变换，将微分方程转换成代数方程，然后代入条件求解此方程；（2）将解进行拉氏反变换。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室4、复习拉氏变换0)()(dtetfsFst)]([)(tfLsF①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作)]([)(1sFLtf一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室)()()]()([2121sFsFtftfL⑴线性性质：)0()()]([fssFtfL)0()0()()]([2fsfsFstfL)0(...)0()0()()]([)1(21)(nnnnnffsfssFstfL⑵微分定理：ssFdttfL)(])([⑶积分定理：（设初值为零）)()()]([0sFedtTtfeTtfLsTst⑷延时（时滞）定理：)(lim)(lim0ssFtfst⑸初值定理：②性质：自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室)(lim)(lim0ssFtfst⑹终值定理：ssFttf1)(),(1)(1)]([)(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室线性微分方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室5.非线性元件微分方程的线性化实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室方法：用泰勒级数展开法自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室小偏差线性化法设连续变化的非线性函数)(xfy平衡状态A为工作点yyyxxxxfy0000,,)(在平衡状态点运用泰勒级数展开为)(xfy自动控制理论青海大学化工学院化工机械系控制原理教研室202200)()(!21)()()()(00xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)()()()(0000xxdxxdfxfxfyyxxKy具有两个自变量的非线性函数的线性化)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx2211xKxKy增量线性方程