组合数学课件 第二章母函数与递推关系习题解答

2020/1/21组合数学1.题目解：,1-nn1n,nn0n]nn1n0n[2n2n12n02n)1()1()1(222nnnnnxxxxxxx比较n次方系数即可证。2020/1/21组合数学2.题目解：10001008410010084100841)()](1[)1(kkkkxxCxxxx分析的结构可知仅当时有项kxx)(845,4,3k20x2331003CCk系数时，3441004CCk系数时，0551005CCk系数时，三个系数相加即为所求2020/1/21组合数学3.题目解：用指数型母函数，可得母函数33242)1()1()(xxxxxxG系数即为所求。10x2020/1/21组合数学4.题目解：A、B、C、D组成的全排列数为xexxP442)!2!11(出现A后，其后续字母必为A、B、C、D中的一个，其概率相等。xxxeeexxxP41543323]!2)43(431[)!11(2020/1/21组合数学AB至少出现一次的排列为04154!)415(4nnnnxxxneePPP排列数为nnna)415(42020/1/21组合数学5.题目解：对符合题设要求的排列如果0可以出现在最高位，则可得母函数：!)1224(41)12(41)](21[)!4!21()!21()(0242224222nxeeeeexxxxxGnnnnxxxxx2020/1/21组合数学但是对n位四进制数来说最高位不能为0。)1224(41nnna)243(41)]1224()1224[(411111nnnnnnnnnaaa2020/1/21组合数学6.题目解：参见第四题解答前半部分。2020/1/21组合数学7.题目解：题设中序列的母函数为：00!)1()1)((),(),(),1(),()(kkkkkxnknknkxnknCxnknCxnnCnnCxG由$4性质3得，上式1)1(1nx2020/1/21组合数学8.题目解：等式的右端相当于从n+m+1个球中取n+1个球的组合。把这n+m+1个球编号，如果取出的n+1个球中最小编号是一，则得到如果最小编号是二则得到如果最小编号是m则得到。可证),(nmnC),1(nmnC),(nnC2020/1/21组合数学9.题目解：由推导过程知61))(ln(631211)31211(1))(ln(222222xxxGxxxG2020/1/21组合数学nxnxxxnxxpxnpxGnn611ln61ln1lnln))(ln(22令xnxxy1ln6122020/1/21组合数学求导得2226)1(1xnxy令即0y06)1(1222xnx解得166),1,0(6621nnxnnx2020/1/21组合数学将代入得1xyny32nnep322020/1/21组合数学10.题目解：把单位看成元素，共12个元素其中第1单位有3个第2单位有4个第3单位有5个则命题可看成从12个元素中取8个的组合。母函数为：)1()1()1()(543243232xxxxxxxxxxxxxG2020/1/21组合数学其中项系数为所求8x2020/1/21组合数学11.题目解：用归纳法可证明：1）当k=1时命题成立2）设当k=N时命题成立即N可唯一表示成不同且不相邻的F数之和。则当k=N+1时，明显可以分成N的序列再加上1（），但这可能会不能满足“不同且不相邻”的条件。下面予以讨论2F2020/1/21组合数学先讨论相邻的，明显若有，则可用代替。以此类推可解决相邻问题。再讨论相同，可把超过1个的分解为再用结决相邻问题的方法即可解决命题得证iFiF1iF2iFiFiF1iF2iF2020/1/21组合数学12.题目解：设n个满足条件的平面把空间分成个域n-1个满足条件的平面把空间分成个域则第n个平面与这n-1个平面有n-1条交线，且这些两两相交，任三线不共点。第n个平面被这n-1条线分成个域增加了个域。可得na1na21nC21nC1,2,10121aaCaannn2020/1/21组合数学设323210nAnAnAAan解得11113210AAAA321nnnan2020/1/21组合数学13.题目解：当n位二进制数最高位为1时最高位为0时，次高位必为11nnhh2nnhh21nnnhhh即是F数列nh2)251(51nh2020/1/21组合数学14.题目解：设n为偶数1）先把n-1个盘通过C移到B2）把第n个盘移到C3）把n-3个盘通过C移到A4）把第n-2个盘移到B对n为奇数时上述四步仍然成立，但是B、C对调。)3(1)3(1)1()(nknhnhnk其中2)0(,2)2(,1)1(kkk)(kh为Hanota数列。2020/1/21组合数学15.题目解：这是一个错排问题把某种排列状态看成暂时状态则1)1()1(1mnmnDmDN2020/1/21组合数学16.题目解：把AD看成1则AB为251ADABBBADADABABABBB2512151215\1112020/1/21组合数学ABCDCBCB11同理可得其他矩形相似2020/1/21组合数学满足条件的n条直线把平面分成个域，其中n-1条直线分割成的域数为，第n条直线与这n条直线均相交。被分成n-1+1=n段。增加的域数为n。17.题目解：na1na2,1,101aanaann2020/1/21组合数学211112210210nnaAAAnAnAAann设解得2020/1/21组合数学18.题目解：n-1个点把圆分为部分，加上第n个点则增加了n-1条弦增加第1条弦，被其他弦分成0段增加第2条弦，被其他弦分成1x(n-2-1)段…………增加第n-2条弦，被其他弦分成(n-3)(n-2-n+3)段增加第n-1条弦，被其他弦分成0段nnaann311na2020/1/21组合数学19.题目解：设n-1位不出现11的个数为n-2位不出现11的个数为n位不出现11的个数为则na2na1na3,2,1,02102121aaaaaaaaannnnnn即特征方程为251,25101212xxxx2020/1/21组合数学设代入得nnBxAx211053510535BAnnna)251(10535)251(105352020/1/21组合数学20.题目解：设所求为则na21)1()1(nnnanana2020/1/21组合数学21.题目解：411)1(nSSSnnn是n的4次方满足第推关系1nS061520156654321nnnnnnnSSSSSSS设5432154321nAnAnAnAnASn2020/1/21组合数学代入可解得5244603502151124605015154321nnnnAnSAAAAAn2020/1/21组合数学22.题目解：由矩阵的结构知nnnK2032011只要求出K即可1)1(,2)1(3)(1KnKnKn2020/1/21组合数学24.题目解：当r是奇数（1）时1221raaarrr当r是偶数时21)1(21raraarrr4)6(4)3)(1(nnnnan2020/1/21组合数学25.题目解：I当n是偶数时对所有符合条件的来说，每边增加1各单位，则可构成符合条件的。设短边为a、b，长边为c，则(a+b)-c=2即a+b-2c-1，对所有符合条件的来说，每边减少1各单位，则可构成符合条件的。3rraa3rarara3ra3rraa3rraa2020/1/21组合数学II当n为奇数时由I的讨论知，比多了a+b-c=1的三角形。而这种三角形可知3rara21nba当能被2整除时，这种三角形有个21n21n当不能被2整除时，这种三角形有个21n21n2020/1/21组合数学4)1(213nnnnaa(2)]8)1()1(8)1([211213nnnnnnnaa