大地测量学基础(第4章 地球椭球数学投影的基本理论

1第四章地球椭球数学投影的基本理论2地球形状接近一个两极略扁的旋转椭球，为研究方便，通常采用旋转椭球代表地球，作为描述地球表面空间位置的基准，称其为地球椭球。S纬线NOWE赤道赤道平面起始子午面起始子午线G3用数学模型表示地球椭球，可以：1）代表地球的数学表面；2）大地测量计算的基准面；3）研究大地水准面的参考面；4）地图投影的参考面。44.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):•长半轴ａ•短半轴ｂ•椭圆的扁率•椭圆的第一偏心率•椭圆的第二偏心率通常用a,abaabae22bbae22'ee5为简化书写，还常引入以下符号2222,tan,'cosactBeBbBeVBeW2222cos1sin1221,'11','1'1,'11,'12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221()1'()1sin(1)1(1')bWeVVaaVeWWbWeBeVVeW椭球基本参数及其互相关系64.2椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1各种坐标系的建立1、大地坐标系大地经度B大地纬度L大地高H72、空间直角坐标系坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。常用坐标系及其关关系83、子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L,x,y表示。常用坐标系及其关系94、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系;以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度u。常用坐标系及其关系10常用坐标系及其关系5、大地极坐标系M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；MN为极轴；P点极坐标为（S,A)11常用坐标系及其关系4.2.2坐标系之间的相互关系•子午平面坐标系同大地坐标系的关系22221(1)xyabyxabdxdy22222c(1)(2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(012常用坐标系及其关系令:pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1(sin1sin)1(2222cosxNBWaNBeNysin)1(2BPQysin)1(2eNPQ2NeQnWBaBeBaxcossin1cos2213常用坐标系及其关系cos,sin,XxLYxLZy空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系14常用坐标系及其关系2coscoscossincossin(1)sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin])1([sincos)(coscos)(2nH0空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：不在椭球面上的点：15常用坐标系及其关系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB由空间直角坐标计算相应大地坐标16•B、u、φ之间的关系B和u之间的关系2cos,sinsincos,(1)sinxauybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscos常用坐标系及其关系17uexytan12xytanuetan1tan2Betan)1(tan2'8.11)('9.5)('9.5)(maxmaxmaxBuuBuB常用坐标系及其关系U、φ之间的关系Ｂ、φ之间的关系大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时184.3椭球面上的几种曲率半径过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。子午圈曲率半径dBdSM19BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1(sin23eWBadBdx椭球面上几种曲率半径2023(1)aeMW3VcM椭球面上几种曲率半径21卯酉圈曲率半径(N)卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。椭球面上几种曲率半径22BNrcosWBarxcosWaNVcNBrBPONPncoscos'椭球面上几种曲率半径23卯酉圈曲率半径的特点:卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。椭球面上几种曲率半径24主曲率半径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。23222)sin1)(1(BeeaM2122)sin1(BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsinsinsin椭球面上几种曲率半径256284262240222089674523)1(memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan椭球面上几种曲率半径262322)cos'1(BecM2122)cos'1(BecNBmBmBmBmmM886644220cos'cos'cos'cos''BnBnBnBnnN886644220cos'cos'cos'cos''椭球面上几种曲率半径27''1011)'(''89'''67'''45'''23')1(/'821062842622402220memmemmemmemmemeacm''109)'(''87'''65'''43'''21'1/'821062842622402220nennennennenneneacn28任意法截弧的曲率半径NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos'1cos1)coscos1(4422AANRA椭球面上几种曲率半径29•任意法截弧的曲率半径的变化规律:ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ；当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。椭球面上几种曲率半径30平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径NMNR22221eWaVNVcWbR椭球面上几种曲率半径31M，N，R的关系MRNcMRN909090椭球面上几种曲率半径32对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径334.4椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式MdBdxBMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin34椭球面上的弧长计算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203512816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma椭球面上几种曲率半径36如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008549.995m。即一象限子午线弧长约为10000km，地球周长约为40000km。为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mｍ椭球面上的弧长计算37由子午弧长求大地纬度迭代解法:平行圈弧长公式01/aXBf01/))((aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS椭球面上的弧长计算38椭球面上的弧长计算子午线弧长和平行圈弧长变化的比较394.5大地线两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?它应是大地线。相对法截线2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba40相对法截线大地线41相对法截线的特点:当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。大地线42大地线大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。43大地线的性质:大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。长度差异可忽略,方向差异需改化。31大地线44大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程45AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsin(90(90))dAdLBdB大地