5-3 梁的弯曲变形

§5-3梁的弯曲变形§5-3梁的弯曲变形§5-3梁的弯曲变形一、梁的挠度和转角挠曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度，用〝〞表示。度量梁变形的参数：§5-3梁的弯曲变形挠度方向：向下为负；向上为正。转角方向：横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。tan()wwx()x()()xwx挠度方程：转角方程：§5-3梁的弯曲变形二、挠曲线近似微分方程1、曲率与弯矩的关系2、曲率与挠曲线的关系2321()[1()]wxw1()()MxxEI1()wx()xw3、挠曲线与弯矩的关系§5-3梁的弯曲变形适用范围：线弹性范围内的小变形情况。挠曲线近似微分方程：()xw4、挠曲线近似微分方程中符号的确定§5-3梁的弯曲变形5、确定挠曲线大致形状定性画图的依据：1）光滑连续特性；2）约束条件；3）由弯矩确定的凹凸情况。挠曲线是连续光滑曲线。§5-3梁的弯曲变形√§5-3梁的弯曲变形√§5-3梁的弯曲变形√§5-3梁的弯曲变形()()EIwxMx()EIwEIMxdxC()EIwMxdxdxCxD1）根据荷载分段列出弯矩方程。2）根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分。3）根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。三、用积分法求梁的变形4）确定挠曲线方程和转角方程。5）计算任意截面的挠度、转角以及挠度和转角的最大值。§5-3梁的弯曲变形3）根据弯曲梁变形的约束条件和连续性条件确定积分常数（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2）固定铰支座处：挠度等于零。（4）在弯矩方程分段处：左、右的两个截面挠度和转角相等。（3）活动铰支座处：挠度等于零。§5-3梁的弯曲变形【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。1）建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM2）写出微分方程并积分)()(xLPxMEIw21()2EIwPLxC31()6EIwPLxCxD解：§5-3梁的弯曲变形4）写出挠曲线方程并画出挠曲线323()[()3]6PwxLxLxLEI3max()3PLwwLEIEIPLL2)(2max5）最大挠度及最大转角3）应用边界条件求积分常数31(0)06EIwPLD21(0)(0)02EIEIwPLC316DPL212CPL§5-3梁的弯曲变形1）建立坐标系并写出弯矩方程()(0)()0()PxaxaMxaxL21112()PxaCEIwD3121216()PxaCxCEIwDxD()(0)0()PxaxaEIwaxL【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。2）写出微分方程并积分解：§5-3梁的弯曲变形3）应用边界条件求积分常数32211(0)061(0)02EIwPaCEIPaC23112211,26CDPaCDPa()()wawa)()(aa11CD1212CaCDaD231211,26CPaCPa22CD§5-3梁的弯曲变形4）写出挠曲线方程并画出挠曲线32332[()3](0)6()[3]()6PxaaxaxaEIwxPaaxaxLEI2max()[3]6PawwLLaEIEIPaa2)(2max5）最大挠度及最大转角§5-3梁的弯曲变形2）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。1）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了(x-a)的项。3）当应用挠曲线在x=a处的两个连续性条件时，就能使得相邻两段梁上相应的积分常数相等。注意之处：§5-3梁的弯曲变形2()2eqxMxMFx弯矩方程：弯矩叠加法：321MMMM四、叠加法计算梁的变形123112233(,,)()()()MFFFMFMFMF梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。§5-3梁的弯曲变形121122(,,,)()()()nnnFFFFFF121122(,,,)()()()nnnwFFFwFwFwF1）前提条件：线弹性、小变形。载荷叠加法：2）叠加法的实用性：（1）梁在载荷作用下挠度、转角应为已知或有表可查；（2）叠加法易用于求梁个别截面的挠度或转角值。各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一截面挠度或转角的代数和。§5-3梁的弯曲变形1）载荷分解如图【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。解：§5-3梁的弯曲变形3）叠加得到总变形。2(34)12AAPAqaPqaEI435246CCPCqqaFa36CPPawEI24APPaEI4524CqqawEI33AqqaEI2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。§5-3梁的弯曲变形【例题】利用载荷叠加法求图示梁B截面的转角和挠度。1）载荷分解如图解：§5-3梁的弯曲变形316BqlEI418BqlwEI332(/2)648BCqlqlEIEI2434(/2)(/2)78482384BCCwwlqlqllqlEIEIEI3）叠加得到总变形。2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。312748BBBqlEI41241384BBBql§5-3梁的弯曲变形1）分段；2）考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段刚化，视之为刚体，计算位移；3）叠加。将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移，然后叠加得到需求位移处的位移，第二类叠加法：叠加法是分解载荷，逐段刚化分析求和法是分解结构，根据结构局部变形与结构总体位移间几何关系进行分析。习惯上统称为叠加法。即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，再利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加。所以也叫逐段刚化法。计算步骤：位移叠加法：§5-3梁的弯曲变形【例题】一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示，试按叠加原理并利用附表，求截面B的转角以及A端和BC中点D的挠度。§5-3梁的弯曲变形1）将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。解：§5-3梁的弯曲变形简支梁BC的受力情况与外伸梁AC的BC段的受力情况相同。因此，由简支梁BC求得的B,wD就是外伸梁AC的B和wD。简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。2）先分析简支梁的情况，求B点的转角和D点的挠度（1）载荷分解如图。§5-3梁的弯曲变形（2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。32()33BBBMMlqaEIEI42()164BBDMMqalwEIEI33)(243qBqlqaEIEI4455()38424DqqlqawEIEI（3）叠加得到总变形。3)()(3BBqBMBqaEI4()()24BDDqDMqa§5-3梁的弯曲变形3）再分析悬臂梁的情况，求wA由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动,使A端产生挠度w1。悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2。因此，A端的总挠度应为122BA查表可得42(2)8qawEI44473412AqaqaqawEIEIEI§5-3梁的弯曲变形五、梁的刚度条件梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；1）土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。max[]wwmax[]maxwwll2）在机械工程中，一般对转角和挠度都进行校核，其刚度条件为：§5-3梁的弯曲变形例题一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[w]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。1）作出梁的弯矩图。33max351043510Nm44FlM解：§5-3梁的弯曲变形由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量Wz=3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字钢作梁能同时满足强度和刚度要求。2）根据弯曲正应力强度条件，要求34max635102.1910m[]160103zMW3）根据梁的刚度条件，要求3max[]48500zFllwEI23259500500351042.9210m4848200104zFlIE4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢§5-3梁的弯曲变形六、提高梁弯曲刚度的措施梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：1）提高梁的抗弯刚度EI挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并不能明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可提高截面的惯性矩。§5-3梁的弯曲变形2）减小梁的跨度或增加梁的约束因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。如果把简支梁的支座向内移动一段距离，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此可减小挠度。在梁的跨度不允许减小的情况下，给梁增加一些约束，例如在简支梁中间增加铰支座，可以减小梁的挠度和转角。§5-3梁的弯曲变形3）改善梁的载荷作用方式合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。