5-3矩阵的相似对角化

信息系刘康泽第5-3节矩阵的相似对角化信息系刘康泽一、矩阵与对角阵的相似矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩阵之间具有许多相同的性质。在研究矩阵的许多问题时，常利用相似关系将对A的讨论通过1APBP转移到对B的讨论上。关系式1APBP可以理解为将矩阵A进行相似分解，分解的目的是为了简化矩阵A的形式，B的最简单形式是对角阵。若A与对角阵相似，则称A可对角化，即存在可逆的矩阵P，使得信息系刘康泽121nPAP，（1）由于（1）可变为1APP，这样对A的讨论可通过相似变换转移到对对角阵的讨论上。例如，求A的幂mA时，若A可对角化，就可以先对A进行分解，使1APP，即先找到与A相似的对角阵，使（1）式成立，再将（1）两边同时求k次幂，得11111()kkAPPPPPPPPPP11kPPPP信息系刘康泽112112kkkknnPPPP。同理，当A时，若1011()mmmmfxaxaxaxa是m次多项式，则()~()fAf，即1211()()()()()nfffAPfPPPf。信息系刘康泽二、矩阵可对角化的条件并非任何方阵A都可对角化，那么当方阵A满足什么条件时可对角化呢？【定理】n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明：充分性设A有n个线性无关的特征向量12,,,n，对应的特征值依次为12,,,n，于是jjjA，1,2,,jn，以12,,,n为列向量组组成的矩阵记为12(,,,)nP。由于12,,,n线性无关，故P可逆，所以信息系刘康泽1212(,,,)(,,,)nnAPAAAA1122(,,,)nn，1212(,,,)nnP。将上式两边左乘1P，得121nPAP，故A与对角阵相似。信息系刘康泽必要性设A与对角阵12n相似，则存在可逆矩阵P，使得1PAP，或APP，将矩阵P按列分块，记12(,,,)nP，则121212,,,,,,nnnA，信息系刘康泽即121122,,,,,,nnnAAA，因此jjjA，1,2,,jn，又显然0j，故j是A的属于j的特征向量，由P是可逆矩阵知12,,,n线性无关。【注】从定理证明过程知,若A与对角阵相似，则（1）与A相似的对角矩阵的主对角线上的元素12,,,n恰好是A的n个特征值；（2）1PAP中的可逆阵P的各列12,,,n恰好是A的属于j的特征向量。信息系刘康泽特别的，若A的特征多项式的根都是单根时,有：【推论1】如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（或A的特征值都是其特征多项式的单根），则A必与对角阵相似。事实上，对n个互异的特征值各取一个特征向量，由于A的不同特征值对应的特征向量线性无关，则得到A的n个线性无关的特征向量，故A必与对角矩阵相似。反之，若n阶方阵A可对角化，A不一定有n个互不相同的特征值。也就是说，A有n个互不相同的特征值只是A可对角化的充分条件，而不是必要条件。例如，数量矩阵aE可对角化，但aE只有n重特征值a。信息系刘康泽对于A有重根的情况，有【推论2】如果n阶方阵A有m个互不相同的特征值12,,,m，mn，且A的属于j的极大无关特征向量组中所含向量的个数为jn，1,2,,jm，则A可对角化的充分必要条件是：1mjjnn。【推论3】如果n阶方阵A有m个互不相同的特征值12,,,m，mn，依次分别为12,,,mrrr重特征根，且1mjjrn，则A可对角化的充分必要条件是()jjnrEAr，1,2,,jm,信息系刘康泽事实上，()jnrEA是齐次线性方程组()0jEAX中基础解系所含向量的个数，也就是A的属于j的极大无关特征向量组中所含向量的个数，由上面的推论2即得结论。一般地称jr为特征值j的代数重数，而称()jnrEA为特征值j的几何重数，于是，A可对角化的充分必要条件是A的所有特征值的几何重数等于代数重数。即1sjjrn,或1[()]sjjnrEAn，信息系刘康泽例1设121201310014A，则：limnnA。解：由于111234EA，故A有3个互异的特征值123111,,234，从而A能与对角阵相似，即存在可逆的P，使得：1121314APP信息系刘康泽故：11121314nnnnAPPPP所以11limlimnnnAPPPOPO。例2设3阶矩阵A有三个特征值2，4，5，则（1）3EA；（2）*AA。解：（1）由于3阶矩阵A有三个互异特征值2，4，5，故A能与对角阵相似，即存在可逆的P，使得：112,4,5,PAPdiagPPA，信息系刘康泽于是：11333EAPEPPPE3213412352。（2）由题设40A，又若A有特征值，则*A有特征值A，所以*A的特征值为404040,,245，即*A的特征值为20,10,8。且：1**11120,10,8,PAPdiagAPP信息系刘康泽因此：*1111AAPPPP220224101440045813。例3设2125312Aab，111是A的一个特征向量。求,ab及对应的特征值，并问A能否与对角阵相似。信息系刘康泽解：设A，即：2121153111211ab121ab由此得：1,3,0ab，故：212533102A，进而：3(1)EA，即1是A的三重特征值信息系刘康泽312101(1)523011101000EA故：3()3123rEA（几何重数代数重数），因此A不能与对角阵相似。三、方阵对角化的实现n阶方阵A对角化的步骤如下：第一步：求出A的所有特征值12,,,m，设它们的重数依次为12,,,mrrr，且1mjjrn；信息系刘康泽第二步：针对每一个特征值j，求解齐次线性方程组()0jEAX，所得的一组基础解系12,,jjjjn是A的属于特征值j的()jjnnrEA个线性无关的特征向量，1,2,,jm；第三步：如果1mjjnn，则A没有n个线性无关的特征向量，故A不可对角化；如果1mjjnn，则A有n个线性无关的特征向量，故A可对角化。信息系刘康泽此时，将n个线性无关的特征向量以列向量组组成可逆矩阵P，即12111212122212(,,,,,,,,,,,,)mnnmmmnP使得121nPAP。【注】由于对于每个j的相应的齐次线性方程组()0jEAX的基础解系不唯一，则由这些线性无关的基础解系作为列向量组组成的可逆阵P不是唯一的。信息系刘康泽另外，由于P中的列向量依次是属于对角阵中对角线上相应元素的特征向量，如果将这些对应关系变换排列次序，则也可得到不同的P及与之相对应的对角矩阵。例5设111131111A，将A对角化，并求kA，这里k为正整数。解：可求出A的3个特征值为1231,2。并分别求出A的属于123,,的特征向量为11,1,1T，231,1,0,1,0,1TT。信息系刘康泽故A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。以列向量组123,,组成可逆矩阵P，即123111,,110101P，使1122PAP，或1122APP，经计算1111121110P，故信息系刘康泽1111111111021211012110kkkkAPP11121212121212121kkkkkkk。信息系刘康泽例6设1114335Axy，且假设A有三个线性无关的特征向量，已知2是A的一个二重特征值，试求可逆的P，使得1PAP为对角矩阵。解：由假设知A可对角化，因已知122是A的二重特征值，故3(2)2rEA，即(2)1rEA，但1111112202333000EAxyxxy，信息系刘康泽由(2)1rEA，必有20,0xxy，即得2,2xy。设3也是A的一个特征值，则123112233aaa，即322145，从而36。故A的属于2的两个线性无关的特征向量为121,1,0,1,0,1TT；对于122，求解方程组(2)0EAX，得1111112222000333000EA信息系刘康泽对于36，求解方程组(6)0EAX，得5111116222032331000EA故A的属于36的一个特征向量为31,2,3T令123111,,102013P，则有1226PAP。信息系刘康泽解：（1）因为A～B,故其特征多项式相同，EAEB即：2(2)(1)2(1)(2)()xxy令0,由上式可得2(2)2xy,即2yx；令1,则2y；由此可得0x。例7设矩阵A与B相似，其中：20010022,02031100AxBy（1）求x与y的值；（2）求可逆矩阵P,使1PAPB.信息系刘康泽（2）由0,2xy可得200100202,020311002AB，A的特征值为1231,2,2.将11代入0EAX可解得1对应的一个特征向量为10,2,1T,同样可求得23,所对应的另两个特征向量为20,1,1T,31,0,1T.令：123001,,210111P，则有：1PAPB。信息系刘康泽例8设A为n阶方阵，2TAE，其中：3T，且1212(,,,),(,,,)TTnnaaabbb非零，（1）求A的全部特征值；（2）问A能否与对角阵相似；（3）求EA。解：（1）设TB，则：233TTTBB，若B的特征值为，则必有：23，故TB的特征值为0及3。则2TAE