事件的条件概率和三个基本公式

1第三节2一、条件概率对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.3例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件的概率应为2/3.我们将“已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率”称为条件概率，记为P(A|B)。若记B为至少有一男孩，则上述概率为)(PBA.)(P)(PBAB3243424条件概率的计算公式规定如下：)(P)(P)(PBABBA)0)(P(B例设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？解设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则非还原:)(P)(P)(PAABAB还原:)(P)(P)(PAABAB.92103CC21023.103103103225不难验证条件概率具有以下三个基本性质：；0)(PBA(1)非负性；1)(PBΩ(2)规范性(3)可列可加性设nAA,,1是两两不相容的事件，则11)(PPiiiiBABA并由此推出条件概率的其它性质：；0)(P)4(BØ;)(P1)(P)5(BABA)(P)(P)(P)(P)6(212121BAABABABAA6二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B))(P)(P)(PBABBA若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：，)(P)(P)(P)(PABCABAABCP(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式7例1解设BA,为任意两个事件，且已知，5.0)(PA，6.0)(PB4.0)|(PAB,求)|(PBA．)|(P)(P)(PABABA)(P)(P)(PBABAB；20.04.05.0,BAABB．－40.020.060.0)(P)(P)|(PBBABA)(P)(P)(PBABA4.01.0.25.0互斥且、BAAB8例2某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率.解记A：合格品；B：一等品，,%96%41)(P,A由题意，%75)(PABAB.BAB)(P)(PBAB)(P)(PABA，72.075.096.0即一等品率为72%.9一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？10到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”11用Ai表示“第i个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5.iA则表示“第i个人未抽到入场券”.因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.)|(P)(P)(P1212AAAA212AAA由于由乘法公式=(4/5)(1/4)同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此=1/5.12)(P)(P3213AAAA这就是有关抽签顺序问题的正确解答.＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，)|(P)|(P)(P213121AAAAAA13三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)014ΩA定义若事件组nBBB,,,21满足以下两个条件：(1)nBBB,,,21两两不相容(即每次至多发生其中一个)(2)ΩBBBn21(即每次至少发生其中一个)则称nBBB,,,21为一个完备事件组.B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分15设nBBB,,,21为一个完备事件组，对任一事件A，有AΩAnABABAB21显然nABABAB,,,21也两两不相容，ΩAB1B2B3B4B6B7B5B816由概率的可加性及乘法公式,有)(P)(P21nABABABAniiAB1)(P.)(P)(P1niiiBAB这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.设nBBB,,,21为一个完备事件组，对任一事件A，有AΩAnABABAB21显然nABABAB,,,21也两两不相容，17niiiBABA1)(P)(P)(P全概率公式利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．18例1市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解)(P)(P)(P)(P)(P)(P332211BABBABBAB.02.001.05.003.02.003.03.0)(P)(P)(P)(P321ABABABA加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；19例2袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,)(P)(P)(P)(P)(PABAABABbaa.baa可以想见，第三次、第四次…摸出白球的概率仍为baa，这体现了抽签好坏与先后次序无关的公平性.练习求第三次摸出白球的概率.11baabab1baa20解分别记A,B,C为第一、二、三次摸到白球，由全概率公式,)(P)(P)(P)(P)(PBACBAABCABC2112211baabaababbaabaabaa.baa练习求第三次摸出白球的概率.)(P)(P)(P)(PBACBABACBA211211baababbabbaababbaa21在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.在全概率公式的假定下，有)(P)(P)(PAABABkknjjjkkBABBAB1)(P)(P)(P)(P该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.),,2,1(nk22)(P)(P)(P)(P111ABABAB,3.002.003.02.0)(P2AB.25.002.001.05.0)(P3AB所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例3已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,45.002.003.03.0:)(PiB0.3,0.2,0.5:)(PABi0.45,0.3,0.25解23解释：事件nBBB,,,21看作是导致事件A发生的原因,在不知事件A是否发生的情况下，它们的概率为)(P,),(P),(P21nBBB，通常称为先验概率；现在有了新的信息已知(A发生),我们对nBBB,,,21发生的可能性大小)(P,),(P),(P21ABABABn有了新的估价，称为后验概率.全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？24在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1|A)知道A发生后P(B2|A)P(B3|A)偏小最大25再举一个医学例子。在医疗诊断中，为了诊断病人到底患了毛病nBBB,,,21中的哪一种，对病人进行检查，确定了某个指标A(比如体温).根据以往资料可知)(P,),(P),(P21nBBB，依靠医疗知识可知,)(P1BA,)(P,)(P2nBABA再利用贝叶斯公式算出)(PABi,显然对较大的)(PABi的“病因”iB应多加考虑，在实际工作中检查的指标A一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中均有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.26下面再举一个例子，说明贝叶斯公式在实际问题中的作用.用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，A表示被检验者患肝癌，B表示判断被检验者患肝癌。由于种种原因使检验方法带有误差。假定95.0)(PAB，90.0)(PAB，又设人群中患肝癌的比例为0004.0)(PA.现在若有一人被此法诊断为患肝癌，求此人真正患肝癌的概率)(PBA.)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA解1.09996.095.00004.095.00004.0.0038.027因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。一个不懂概率的人可能会这样推理：一个没有患肝癌的人被诊断为患肝癌的机会才1.0)(PAB，现在我被诊断为患肝癌，说明我患肝癌的概率为0.9，其实大相径庭。正确的概率思维是人们正确地思考问题而必备的文化修养的一个成分。思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？28)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PABAABAABABA.999958.01.00004.095.09996.095.09996.029练习：P28习题一