事件的独立性

一、独立性的定义例1袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，令：A={第一次取出白球}，B={第二次取出白球}，分有放回和不放回情形讨论第一章概率论的基本概念（第四讲）§1.4独立性ABP22bab2baabBAP同理APbab（1）有放回情形：)|(),(),(ABPBPAP所以，由BAABBAPABPABP而，babbabbab22第一章概率论的基本概念§4独立性BAPABPBP得：babbaabbab222（2）不放回情形：babAP所以，BAPABPBP第一章概率论的基本概念§4独立性ABP11bababb1babaabBAP同理111babaabbababbbabAPABPABP而，babbababb1111bab第一章概率论的基本概念§4独立性说明例1的两种情形中都有这表明，在有放回情形，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．由此，我们引出事件独立性的概念第一章概率论的基本概念§4独立性)()(BPAP在不放回情形，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是有影响的，即事件A与B呈现出不独立性．在不放回情形有：在有放回情形有：PBPBAPBPBA定义：设A、B是两个随机事件，如果BPAPABP则称A与B是相互独立的随机事件．二、事件独立性的性质：1）如果事件A与B相互独立，而且0APBPABP则第一章概率论的基本概念§4独立性第一章概率论的基本概念§4独立性2）必然事件与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．3)若随机事件A与B相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.证明：为方便起见，只证BA与相互独立即可．ABB注意到，差事件的概率，得由于BAPABBPABPBPBAP的独立性与事件BABPAPBP第一章概率论的基本概念§4独立性BPAP1BPAP相互独立．与所以，事件BA注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例2设事件A与B满足：0BPAP证明：AB若事件与相互独立，则有0BPAPABPAB所以，第一章概率论的基本概念§4独立性这表明，事件A与B不是互不相容的证明:若事件A与B相互独立，则AB≠Φ；若AB=Φ，则事件A与B不相互独立．(注意与第二个性质相区别)若AB=Φ，则有0PABP但是，由题设0BPAPBPAPABP所以，这表明，事件A与B不相互独立．第一章概率论的基本概念§4独立性此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。(而在性质二的条件下二者可以同时成立)三、多个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，第一章概率论的基本概念§4独立性1）三个事件的独立性：则称A、B、C是相互独立的随机事件．试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。CPBPAPABCP事件两两独立这三个CBA,,CPAPACPCPBPBCPBPAPABP如果例3袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：A={取出的球涂有红色}B={取出的球涂有白色}C={取出的球涂有黑色}则：第一章概率论的基本概念§4独立性CPBPAP21ACPBCPABP41ABCP41由此可见,BPAPABP,CPBPBCP.CPAPACPCPBPAPABCP8141但是这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．第一章概率论的基本概念§4独立性2）n个事件的相互独立性：等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设nAAAn21121212121211()1mmijijijkijkiiiiiimnnPAAPAPAijnPAAAPAPAPAijknPAAAPAPAPAiiinPAAAPAPAPA个随机事件相互独立．这，，，则称nnAAA21第一章概率论的基本概念§4独立性说明在上面的公式中，个等式一行共有，最后个等式，个等式，第二行有第一行有nnnnCCC32因此共有10322nnnnnnnCCCCCnn12个等式第一章概率论的基本概念§4独立性,21个随机事件相互独立这，，，如果nnAAA11(2)mmniiiiAAAAn，，，，，这个随机事件也相互独立.第一章概率论的基本概念§4独立性3）独立随机事件的性质：则：（1）其中任意个随机事件也相互独立；)2(nmm4)事件独立性的应用a、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则11211(...)1()....()1()1(1())nnnniiiiPAAAPAPAPAPAb、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则1211(...)()....()()nnniiPAAAPAPAPA§4独立性第一章概率论的基本概念思考题：一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸，但要到达目的地，非要有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立地进行轰炸且炸毁目标的概率为0.3。在到达目的地之前，必须经过敌军的高射炮阵地上空，此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率？§4独立性答案:(0.4765)第一章概率论的基本概念§4独立性特别地,如果,0112PAPAPAppn注意:n当时1111nnPApiinpniiAP111则有至少出现一次的概率为试验中次则前出现次试验中表示第事件是某一随机次某一试验假设独立重复地做AnAiApAPAEni,,)(,,第一章概率论的基本概念§4独立性由此得到小概率事件必然发生原理：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是当实验次数趋于无穷时小概率事件必然发生。niiAP11np11(2)并联系统))(1(1)(1)()....(1)...(11121niiniinnAPAPAPAPAAAPc、在可靠性理论上的应用(1)串联系统)()()....()...(1121niinnAPAPAPAAAP§4独立性设Ai=“第i个元件能正常工作”.例4设有电路如图，其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为p。求L至R为通路的概率。LR2134解：设事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个继电器接点闭合”,L至R为通路这一事件可表示为：.4321AAAAA第一章概率论的基本概念§4独立性由并事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到)()()(43214321AAAAPAAPAAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP.242422ppppp第一章概率论的基本概念§4独立性)()(4321AAAAPAP第一章概率论的基本概念§4独立性本节要点：1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；3）在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的概率公式：)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；两两独立与相互独立的区别。