随机事件的直观意义及其运算

广东第二师范学院数学系ProbabilityandStatistics概率与数理统计是研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程。本学科的ABC概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据,以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。例如1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到《假设检验》水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、3.在生物学中研究群体的增长问题时了提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》。4.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是《排队论》。目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展。在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题都大量采用《概率统计方法》。法国数学家拉普拉斯(Laplace)说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为”。教材：《概率论及数理统计》第四版邓集贤杨维权司徒荣邓永录编高等教育出版社参考书：1、《概率论与数理统计教程》第二版茆诗松等编高等教育出版社2、《概率论与数理统计教程》第二版魏宗舒等编高等教育出版社3、《概率论与数理统计》第四版盛骤谢式千潘承毅编高等教育出版社第一章随机事件和概率第四章特征函数与母函数第二章随机变量及其分布函数第三章随机变量的数字特征第五章极限定理第六章数理统计的基本概念第七章参数估计第八章假设检验一、必然现象与随机现象自然界和社会上发生的现象是多种多样的。在观察、分析、研究各种现象时,通常我们将它们分为两类:§1.1：随机事件的直观意义及其运算第一章：随机事件及其概率(1)事前可以预知结果：即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。例如：向空中抛掷一颗骰子，骰子必然会下落;在没有外力作用下，物体必然静止或作匀速直线运动;太阳每天必然从东边升起，西边落下等等，我们把这一类型的现象称之为确定性现象或必然现象.(2)事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。这一类型的现象我们称之为随机现象(或偶然性现象)。例如：在相同条件下,抛掷一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛掷之前无法确定抛掷的结果是什么。确定性现象(Certaintyphenomena)在一定条件下事先可断言必然会发生某种结果的现象；随机现象(Randomphenomena)在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。随机现象的特点•对随机现象进行观察、观测或测量，每次出现的结果是多个可能结果中的一个，“每次结果都是不可预知的”；但“所有可能的结果是已知的”。•在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生具有统计规律性。例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)，但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。如：命中率等。“天有不测风云”和“天气可以预报”有无矛盾?☆天有不测风云指的是：对随机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；☆天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天气进行预测，得到天气的变化规律。想一想概率论与数理统计的研究内容随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。人们经过长期实践和深入研究之后,发现随机现象在个别试验中,偶然性起着支配作用,呈现出不确定性,但在相同条件下的大量重复试验中,却呈现出某种规律性。随机现象的这种规律性我们称之为统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。二、随机试验与事件把对某种自然现象作一次观察或进行一次科学试验,统称为一个试验。如果这个试验“在相同条件下可以重复进行”,而且每次试验的结果事前不可预言，但却呈现前面所述的统计规律性，我们就称它为一个随机试验(RandomExperiments)。随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；(必然性)2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可以明确试验的所有可能结果;(可示性)3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。(偶然性)E1:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E2:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E3:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E5:任选一人，记录他的身高和体重。概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。随机试验的实例对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间，记为Ω。样本空间的元素，即随机试验的单个结果称为样本点。样本空间样本点SamplePoint样本空间SampleSpace随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作．i全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即12,,,,n随机实验的所有可能结果所组成的集合.Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}E4:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E2:射手向一目标射击，直到击中目标为止E3:从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。E1:掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数Ω={1,2,…}Ω={(J,Q),…(Q,A)}Ω={1，2，3，4，5，6}写出下列试验的样本空间随机事件把样本空间Ω的任意一个子集称为一个随机事件，简称事件。常用大写字母A,B,C等表示。特别地，如果事件只含一个试验结果(即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。例1：写出试验E1的样本空间，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件：解：Ω1={1,2,3,4,5,6}.A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分别表示所掷结果为一点至六点，都是基本事件；B={2,4,6}━━表示所掷结果为偶数点，复合事件；C={1,3,5,}━━表示所掷结果为奇数点，复合事件；D={4,5,6}━━表示所掷结果为四点或四点以上，复合事件。(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总是发生。因此,称Ω为必然事件。(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空间Ω的一个子集，由于它在每次试验中肯定不发生，所以称为不可能事件。注意:只要做试验,就会产生一个结果,即样本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。当结果A时，称事件A发生。必然事件：“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件。例——记作Ω不可能事件——记作例：“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件。三、事件的关系与运算进行一个试验，有这样或那样的事件发生，它们各有不同的特性，彼此之间又有一定的联系。下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算，这将有利于今后对事件和它的概率的叙述和研究。集合与事件回忆:做试验E时,若A,则称事件A发生。集合A包含于集合B:若对A,总有B,则称集合A包含于集合B,记成AB。事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B,记成AB。若AB,且BA,则称事件A与B相等,记成A=B。集合A与B的并或和：若C,当且仅当A或B,则称集合C为集合A与B的并或和,记成A∪B。事件A与B的并或和：若事件C发生,当且仅当事件A或B发生,则称事件C为事件A与B的并或和,记成A∪B。无穷多个事件A1,A2,…的和n个事件A1,A2,…,An的和C发生就是A1,A2,…,An中至少一个事件发生。C发生就是A1,A2,…中至少一个发生。niiAC11iiAC集合A与集合B的交或积：若C,当且仅当A且B,则称集合C为集合A与B的交或积，记成A∩B或AB。事件A与B的积或交：若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生,则称事件C为事件A与B的积或交，记成A∩B或AB。特别地,当AB=Ø时，称A与B为互斥事件(或互不相容事件)，简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。例1(续)：A1={1},A2={2},于是A1A2=Ø。故A1与A2互斥；B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø，故B与C也互斥。如果中的任意两个事件是互不相容的，则称互不相容。12,,nAAA12,,nAAA无穷多个事件A1,A2,…的积n个事件A1,A2,…,An的积C发生就是A1,A2,…,An都发生。C发生就是A1,A2,…都发生。niiAC11iiAC集合A与集合B的差：若C当且仅当A且B，则称集合C为集合A与B的差，记成A-B。事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生，则称事件C为事件A与B的差,记成A－B。特别地，称Ω-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等，记成。例1(续)：A1={1},B={2,4,6},于是就是A不发生。1{2,3,4,5,6}{1,3,5}ABAA可以验证一般事件的运算满足如下关系：交换律：A∪B=B∪A;A∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(De·Morgan)律：BABABABA;对差事件运算：A-BABA-ABAA)=AA),AA)=AA).iiiiiiii（（（（A=A,A=A.iiiiiiii分配律可以推广到有穷或可列无穷多个事件的情形，即De.Morgan律也可以推广到有穷或可列无穷多个事件，即ABABABABABAB例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}概率论集合论样本空间(必然事件)Ω全集不可能事件Φ空集Φ子事件A⊂B子集A⊂B和事件A∪B并集A∪B积事件A∩B交集A∩B差事件A-B差集A-B对立事件补集AA某射手向目标射击三次，用表示第次击中目标iAi试用及其运算符表示下列事件：1,2,3,iiA（1）三次都击中目标：123AAA（2）至少有一次击中目标：123AAA（3）恰好有两次击中目标：123123123AAAAAAAAA（4）最多击中一次：121323AAAAAA（5）至少有一次没有击中目标：123123AAAAAA（6）三次都没有击中目标：123123AAAAAA例：复合事件的表示A,B,C为同一样本空间的随机事件，试用A，B，C的运算表示下列事件1）A，B，C都不发生2）A与B发生，C不发生3）A，B，C至少有一个发生4）A，B，C中恰有二个发生5）A，B，C中至少有二个发生6）事件3）的对立事件ABCABCABCABCABBCACABCABCABCABC小结本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。