2.6 连续时间信号的采样

2.6连续时间信号的采样一、采样的基本概念1、采样原理从原理上说，采样器就是一个开关，通过控制开关的接通和断开来实现信号的采样，它的概念如图2.3所示。采样T()nTxa()nTxa０()txa()txat(b)　　　波形和采样信号波形()txa)(txa)(txs开关（a）　信号采样原理图2.3采样过程2、采样在数学上等效为下列运算：式中s(t)是一个开关函数，是原信号，是采样后的信号。在理想采样情况下，s(t)是无限多项单位冲激信号等间隔构成的一个单位冲激串，即式中T是采样间隔。sa()()()xtxtstT()()()nstttnTa()xts()xt()t则式中，只在时不为零，因而只在这些点上才有定义的值且为，可见采样的结果是使原来的模拟信号变成为在这些点上的离散信号，这就是采样的基本原理。saT()()()xtxtta()()nxttnTa()()nxnTtnT()tnTtnTs()xta()xnT0,,2...tTT周期信号δT(t)可以进行傅里叶级数展开，得下式：可以求解出式中，，是的基波频率，同时也是采样频率。2jT()ektTkktAj2221()esTkftTkTAtdtTs1/fTT()t二、采样过程中频谱的变化1、采样后的信号与原信号的关系s()xta()xt令，求得为sΩ2πTsj221()eTktTkTAtdtTsj221()eTktTntnTdtTkA而，所以只有一个冲激，于是()t2Ttsj221()eTktTkAtdtT又因为有：(0)()()ftftdt则sj011ektktATT于是jT1()esktktT因此jsa1()()esktkxtxtT2、采样后的信号的频谱s()xt对采样后的信号进行傅里叶变换，得s()xtjss(j)()edtXxttsj()a1()edktkxttTas1(jj)kXkTa12(jj)kXkTTja1()sktjtkxteedtT分析上式，可以得出1.的频谱变成了周期的，即是周期函数，周期为，也就是说，离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱以采样频率为周期进行无限项周期延拓的结果，2.频谱幅度变为原来幅度的1/T。s(j)Xss()xt左图表示了这种频谱的变化。从上图可以看出：1.当时，采样后的离散时间信号的频谱变成了以为周期的周期频谱。各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠。则和包含的信息是相同的，即采样后的离散信号能完全表示原来的模拟信号。2.当是平移后的频谱必相互重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同，这种现象称为“混叠”现象。0max2(2)ssffs(j)Xss(j)Xa(j)X0max2(2)ssff02sf采样定理对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号。可以表示为或式中，是信号的最高频率。采样频率的一半，即称为折叠频率。当时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特采样频率”。smax2ff02ss1/fTmaxfmax2ff三、低通信号采样定理2sf00()sin(2)5081()2200ˆ()ˆ3()()()aasaaxtftfHzxtfHzxtxtxnxn设模拟信号，其中）求的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？）若选采样频率，采样间隔为多少？写出采样信号的表达式；）画出对应的时域离散信号的波例1：形，并求出的周期。解：050fHz1）由，得00()1/0.02axtTfs的周期为：02100sffHz采样频率应：1/0.01sTfs采样间隔应为：2200sfHz）当1/0.005sTfs则采样间隔为：00()sin(2/8)sin(2//8)asxnTfnTfnf501sin(2/8)sin(/8)2002nnˆ()()()aanxtxnTtnT1sin()()28200nnnt(3)()()atnTxnxt02241/2Nk4N为最小正整数()4xnN的周期为1sin()28n四、信号恢复当满足采样定理的条件时，可以推导出从离散时间信号恢复原来的模拟信号的内插公式。设采样后的信号的频谱在一个周期里可以表示为将通过以下理想低通滤波器：就得到原信号的频谱。sa1(j)(j)XXT||/2ss(j)X(j)HT｜Ω｜0｜Ω｜≥/2s/2sa(j)X根据模拟系统的频域描述理论，有其中，等于原信号的频谱。所以输出端即为原模拟信号。S(j)(j)(j)()aYXHXj(j)Ya(j)X()()aytxt设滤波器的单位冲激响应为j1()(j)ed2thtHSSj22SSed2sin()2/2sin()tTtttTtT滤波器的输出为上式称为信号恢复的内插公式。其中称为内插函数。sa()()()()kytxtxkThtkTssin[()]()()ktkTTxkTtkTTs()()kkxkTtksin[()]()()tkTTttkTT的特点：在采样点上,函数值为1，在其余采样点上，函数值为0。说明：等于各乘上对应的内插函数的总和。在时，恢复的等于原采样值，而在采样点之间，则是各采样值乘以的波形伸展叠加而成。ksin[()]()()tkTTttkTTk()ta()xtk()ts()xkTkTk()ttkTa()xt)(jxsTs/2Ts/2)(nTxat)(jH)(th2/s2/s(a)离散时间信号的频谱(b)理想低通滤波器的频率响应(c)恢复后的连续时间信号的频谱(d)离散时间信号的波形(e)滤波器的单位冲激响应(f)恢复后的连续时间信号的频谱　sfT1t)(jxa)(txat图2.6采样信号的恢复五、窄带信号采样定理1、定义：所谓窄带信号就是信号带宽远远小于它的中心频率的信号。例如：通信、雷达等无线电系统中的信号。2、窄带信号的数学模型：其中，是低频信号，其最高频率远远小于，它们通常携带有信息，分别被调制在频率为的载波的幅度和相位上。0()()cos2()xtatftt(),()att0f0f3、窄带信号的采样定理设信号为窄带信号，中心频率为，带宽为，且，若保证采样频率为或则可由采样信号重建其中，BB24sfff()xtsf()xn()xtofBf0B2ff1B2()srffr0BB1(2),rfff10BB(2)rfff