4-1向量空间及其子空间

信息系刘康泽第4-1节向量空间及其子空间信息系刘康泽一、向量空间的定义在第三章中，对集合nR中的向量定义了加法与数乘运算，且nR中的向量的线性组合仍然属于nR，加法与数乘运算还满足八条运算性质。对于nR中的一个集合V，V中向量的线性组合是否仍然属于V？如果仍然属于V，则在V中加法与数乘的八条运算性质将被满足。信息系刘康泽【定义】设V是n维实向量构成的集合，对于向量的加法运算及数乘运算满足：（1）任意,VV，有V；（2）任意,VkR，有kV。则称集合V为R上的实向量空间，简称向量空间。【注1】定义中的条件(1)称为加法封闭性，而条件(2)称为数乘封闭性。因此，如果n维向量的集合V关于向量的加法和数乘都封闭，则V构成向量空间。【注2】只含零向量的集合显然对加法和数乘封闭，因而也构成向量空间，称为零空间。信息系刘康泽【注3】实数域R上所有n维向量的集合nR是向量空间。如3R通常称为3维几何空间。【注4】由于向量空间中的加法和数乘运算封闭，故向量的加法和数乘运算的八条性质在集合V中被满足。(5)1；(6))()(lklk；(7)kkk)(；(8)lklk)(。它们是：(1)；(2))()(；(3)0；(4)()0；构成向量空间的三要素：一个集合V、两种V中的运算、八条运算性质信息系刘康泽解：（1）设221(0,,,),(0,,,)nnxxyyV则221(,,,0)nnxyxyV，21(,,0,)nkkxkxV，故1V关于加法和数乘都封闭，因此1V构成向量空间。（2）设222(1,,,),(1,,,)nnxxyyV，则(,,,)nnxyxyV2222，即2V对加法运算不封闭，因此2V不构成向量空间。例1设n维实向量的集合122(0,,,),,TnnVxxxxR；222(1,,,),,TnnVxxxxR；问V1及2V是否构成向量空间？信息系刘康泽例2设n维实向量的集合3(,,,,,,),TVxyxyxyxyR；4121(,,,),1nTniiiVxxxxRx。问3V及4V是否构成向量空间？解：（1）设1111113(,,,,,,)TxyxyxyV2222223(,,,,,,)TxyxyxyV，则3(,,,,,,)TabababV，3(,,,,,,)TkcdcdcdV，其中,,,axxbyyckxdky121211。信息系刘康泽故3V关于加法和数乘都封闭，因此3V构成向量空间。（2）设12124(,,,),(,,,)TTnnxxxyyyV，11niix，11niiy，则由于()nnniiiiiiixyxy11121，故11224(,,,)TnnxyxyxyV，即4V对加法运算不封闭，因此4V不构成向量空间。信息系刘康泽例3给定n维向量组1,,(1)mm…，V是由1,,m的一切线性组合所构成的集合，即11{,R}mmiVkkk试证：V构成向量空间。证明：设11mmkkV，11mmllV，于是111()()mmmklklV，Vkkkkkmm)()(11，即与k仍然是1,,m的线性组合，由此V关于加法和数乘都封闭，故V构成向量空间。信息系刘康泽【定义】给定的n维实向量12,,,m，称}R,{11immkkkV是由向量组m,,1生成的向量空间，记作：),,(1mL或者},,span{1m。例4设12(1,0),(0,1)，则21212121122(,)(,)(,),jLxxxxxxxRR例5设A是mn矩阵，且12(,,,)nA，则,nVyyAxxR1122,nnjyyxxxxR信息系刘康泽故V可看成是由A的列向量组12,,,n生成的向量空间1(,,)nL，称为A的值空间，记为()RA，即()nRAAxxR。例6设A是mn矩阵，则0,nVxAxxR构成向量空间。它是齐次线性方程组0Ax的解集合。记12,,nr是0Ax的基础解系(())rAr，则1122,nrnrjVxxkkkkR，信息系刘康泽故V可以看成是由0Ax的基础解系生成的向量空间，称为A的核空间，记为()NA。即()0,nNAxAxxR。()NA也称为齐次线性方程组0Ax的解空间。A的值空间与核空间是两个非常重要的向量空间。【注5】非齐次线性方程组(0)Ax的解集不构成向量空间。信息系刘康泽二、子空间【定义】设V与W都是向量空间，并且W是V的子集，则称W是V的子空间。例7由n维向量12,,,s生成的向量空间12(,,,)sL是nR的子空间。又设A是mn矩阵，则：()0,nNAxAxxR是nR的子空间。()nRAAxxR是mR的子空间。信息系刘康泽给出n维向量的非空集合W，显然W是nR的子集。判断W是否为nR的子空间，只需判断W是否为向量空间即可，也就是验证W是否对加法和数乘运算封闭。例8判断下述集合是否为nR的子空间（1）11212(,,,)0,TnniWxxxxxxxR；（2）21212(,,,)21,TnniWxxxxxnxxR。解（1）1W可理解为齐次线性方程组120nxxx的解集合，故1W是nR的子空间。信息系刘康泽（2）1W可理解为非齐次线性方程组1221nxxnx的解集合，故2W不是nR的子空间。三、向量空间的基、维数与向量的坐标在nR中，任一向量都可用nR中n个线性无关的向量来表示，且这种表示是唯一的。这一性质在一般的向量空间V中是否具有？答案是肯定的！由此可抽象出向量空间V的基、维数以及向量在所给基下的坐标的概念，并以此描述向量空间的结构。信息系刘康泽【定义】设V是一个向量空间，如果存在一组向量12,,,rV，满足：（1）12,,,r线性无关；（2）V中任一向量都可以由向量组12,,,r线性表出，则称12,,,r为向量空间V的一组基；基中所含向量的个数r称为V的维数，记作dimVr，并称V为r维向量空间。零空间没有基，并规定零空间的维数是0。信息系刘康泽【注】如果找到了向量空间V的一组基，则V中任一向量都可由基向量线性表出，从而V的结构也就清楚了，因此V可以理解为由它的基向量组生成的向量空间。例9设122(0,,,),,TnnVxxxxR；21212(,,,)20,TnniVxxxxxnxxR求它们的基与维数。解：（1）12(1,0,,0),(0,1,,0),0,0,TT10,,(0,0,,1)Tn是1V的一组基，故1dim1Vn。信息系刘康泽（2）12(2,1,0,,0),(3,0,1,,0),TT1,(,0,0,,1)Tnn是2V的一组基，故2dim1Vn。例10设A是mn矩阵，且()rArn，则齐次线性方程0Ax的基础解系12,,nr构成0Ax的解空间（核空间）()0,nNAxAxxR的一组基，且dim()()NAnrnrA。信息系刘康泽解：设1,,rii是12,,,s的极大无关组，由于生成向量空间12(,,,)sL中的任意一个向量都可由12,,,s线性表示，而12,,,s又可由极大无关组1,,rii线性表示。由线性表示的传递性知，可由1,,rii线性表示，因此极大无关组1,,rii构成1(,,)sL的一组基。且112dim(,,)(,,,)ssLrr。例11求由n维向量12,,,s生成的向量空间12(,,,)sL的一组基及维数。信息系刘康泽【注】设A是mn矩阵，且12(,,,)nA，则A的值空间()RA就是由A的列向量组生成的向量空间，因此A的列向量组的任一个极大无关组都构成()RA的一组基，且12dim()(,,,)()mRArrA。即A的秩就是A的值空间的维数。即12,,,s的秩就是生成向量空间的维数，且易知：112(,,,)(,,)riisLL。信息系刘康泽解：向量组12345,,,,的极大无关组就是生成空间12345,,,,L的基。设12345(,,,,)A，对A作初等行变换：例12求由向量组123451031213011,,,,21725421406生成的向量空间的一组基及其维数。信息系刘康泽1031210301011010110100011000110000000000，10312103121301103303217250110142140602242A信息系刘康泽故124,,是向量空间12345,,,,L的一组基，且12345dim,,,,3L。因而12345,,,,3r，且124,,为12345,,,,的一个极大无关组。信息系刘康泽【定义】设12,,,r是向量空间V的一组基，对于任意的V，存在不全为零的数12,,,rkkk，使得：1122rrkkk称有序数组12,,,rkkk为在基12,,,r下的坐标，而称12(,,,)rkkk或12(,,,)Trkkk为在该基下的坐标向量。由于基向量组是线性无关的，所以任一向量在给定基下的坐标是唯一的，从而向量与它的坐标向量有一一对应关系。设在基12,,,r下的坐标为12(,,,)rkkk，则可表示为信息系刘康泽1212(,,,)rrkkk。例13设nR中的基本单位向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)TTTn及向量组12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,0,,1)TTTn试证明这两组向量都构成nR的基。信息系刘康泽证明：由于12,,,n线性无关，且任一n维向量12(,,,)Tnaaa可由它们线性表出：1122112212(,,,)nnnnnaaaaaaaaa因此，12,,,n是nR的一组基，通常称为自然基。任一向量在自然基下的坐标向量是该向量本身。再考虑12,,n，显然它们也线性无关，信息系刘康泽设任意12(,,,)Tnaaa，令1122nnkkk，即1112212nnkakkakkka解此方程组,得112211,,,nnnkakaakaa，即任意都可以由12,,n线性表示。故12,,,n也是nR的一组基，且12(,,,)Tnaaa在这组基下的坐标是1211(,,,)Tnnaaaaa。信息系刘康泽【注】向量空间的基一般不唯一，并且同一向量在不同基下的坐标是不同的。容易证明:【定理】n维向量空间V中任意n个线性无关的向量都可作为V的基。例14证明向量组1231101,0,1011是3R的