72拉普拉斯变换

1信号与系统Signalsandsystems第五章拉普拉斯变换Laplacetransform5傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，拉普拉斯变换和Z变换，对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式，方便了对各个器件的设计。傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）。CTFT是将连续时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到拉普拉斯变换。DTFT是将离散时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到Z变换。1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系5.1拉普拉斯变换并不是所有f(t)的傅氏变换都存在傅氏级数的收敛条件—狄里赫利条件（Dirichletcondition）：1信号f(t)在任意一个周期T内绝对可积()Tftdt23信号f(t)在任意一个周期T内，只有有限个极大和极小值点信号f(t)在任意一个周期T内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处f(t)必须是有限值20通过选择合适的实数，可使信号是绝对可积分的，所以的傅氏变换存在。te引入()()tgtfte定义：()()()[()]()jttjtjtGgtedtfteedtftedt()gt()G()gt(5.1.1)(5.1.2)21令复数sj()()stFsftedt令()()()()()jtstGftedtftedtFs(5.1.4)(5.1.3)22根据傅氏逆变换，有:1()()2jtgtGed()()tgtfte1()()2tjtfteGed将代入上式得两边乘以te有：()1()()2jtftGed(5.1.5)(5.1.6)(5.1.7)24sjdjds因为，所以sj。当时，()()FsG，又有1()()2jstjftFsedsj(5.1.8)25()()stFsftedt1()()2jstjftFsedsj(){()}FsLft或()()ftFsL的拉普拉斯变换（Laplacetransform)()ft拉普拉斯逆变换(inverseLaplacetransform)简记为1(){()}ftLFs(5.1.9)(5.1.10)26三、一些常用函数的拉氏变换1、阶跃函数u(t))0(101)(0ssedtetuLstst)(100)(a　assaedteeeLtsastatat　　dtetsnestdtettutLstnstnstnn0010)(2、指数函数3、tnu(t)（n是正整数）　tutLsntutLnn)()(1　tutLsntutLnn)()(10n!)(02)(2)(201)(1)(11322，，：，：nnstutLs　ttuLstutLns　tuLsttuLn4、冲激函数(t)），（10dtettLst），（000000tedtettttLstst注:单边拉氏变换从0-开始积分，与t0时函数形式无关。拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT:时域函数f(t)频域函数()F变量t变量LT:时域函数f(t)复频域函数)(sF（变量t、都是实数）变量t变量s(复频率）t（实数）(复数）js即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。29例5.1.2求单边指数信号和的拉氏变换，其中为复数。解：0()steut0()steut000sj00()0()()stststjtFseutedteedt00()()0tjteedt当时001()Fsss所以，001()steutssL0，同理，0000()()()()sttjtstFseutedteedt001()steutssL，0(5.1.14)(5.1.13)30的傅氏变换的收敛()tftedt()()stFsftedt称信号的拉普拉斯变换收敛()ft()tfte将上式成立（即拉氏变换收敛）的的取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛域(regionofconvergence)，记为ROC。5.2拉普拉斯变换的收敛域积分有界时，1.拉普拉斯变换的收敛域(5.2.1)31为了形象化地表示拉氏变换的收敛域ROC，通常将其图示在称为平面(s-plane)的复平面上sj0s平面js平面032拉普拉斯变换通常可表示为：()Fs11101110()()()MMMMNNNbsbsbsbNsFsDssasasa()0Ns12,,,Mzzz()Fss定义一元M次方程的根为拉氏变换的零点zeros)，在平面上用“○”表示。()Fss定义一元N次方程的根为拉氏变换极点(poles)，在平面上用“×”表示。()0Ds12,,,Nppp2.拉普拉斯变换的零点和极点(5.2.2)33可用零点和极点表示为()Fs1212()()()()()()()()()MNszszszNsFsKDsspspsp将的零点和极点标注在S平面上，称为拉氏变换的零极点图(pole-zeroplot)。除一个常数因子外，拉氏变换F(s)的代数表达式与其零极点图是等价的。()Fs(5.2.3)34收敛域应取3个信号收敛域的交集例5.2.1：已知信号，求信号的拉普拉斯变换，并画出其零极点图。解：2366()()()()55ttftteuteut()Fs232366()[()()()]5566()()()55ttststtsttstFsteuteutedttedteutedteutedt261112()1[],23523(2)(3)ssFsssss35零点：极点：在S平面上，的零极点图及ROC如下图所示123,4zz122,3pp()Fsjs平面234336性质3：如果信号是时限信号且是绝对可积的，那么ROC是整个平面。性质1：在平面内，拉普拉斯变换的收敛域是平行于轴的带状区域。sj()ft()Fs性质2：如果信号的拉普拉斯变换是有理式，则ROC内不包含任何极点。()fts3.拉普拉斯变换收敛域的性质37s性质4：如果信号是右边信号，且的拉氏变换为有理分式，则的收敛域ROC为最右边极点的右侧平面。()ft()Fs()ft()Fs例1求因果信号的拉氏变换及其收敛域。111()()()tfteut为实数解：111()()()tststBFsftedteutedt1()0stedt当时，有1Re[]s38收敛区收敛轴收敛坐标10j39性质5：如果信号是左边信号，且它的拉氏变换的收敛域ROC为最左边极点的左侧平面。()fts40例2求非因果信号的拉氏变换及其收敛域。222()()()tfteut为实数解：222()()()tststBFsftedteutedt20()stedt当时，有2Re[]s20()22211()stBFsess0j241性质6如果信号是双边信号，且其拉氏变换为有理分式，则的收敛域ROC为两极点间平行于虚轴的带状区域或为空集。()ft()Fs()Fs42例3求函数的拉氏变换及其收敛域。210()0ttetftet解：2100()()ttstststBFsftedteedteedt210()()21011ststeess当时，上式第一项存在；当时，上式第二项存在，2Re[]s1Re[]s121221122111()()()ααBFsssss当时，收敛域不存在，此时双边信号的拉普拉斯变换不存在。43j121()ftt01()teut2()teut210j2101201()ftt01()teut2()teut12,1()ftt01()teut2()teut1()teutj01244例5.2.3如果信号的拉氏变换为：讨论不同的ROC及其对应的时间信号。解：的极点为，。如下图所示，以极点为界，可将平面分成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。()ft11()32Fsss()ft()Fs13p22pjs平面区域Ⅰ区域Ⅱ区域Ⅲ3245(1)若收敛域ROC为为区域Ⅰ，即，则332()()()ttfteuteut(2)若收敛域ROC为为区域Ⅲ，即，则232()()()ttfteuteut(3)若收敛域ROC为为区域Ⅱ，即，则3232()()()ttfteuteut46()ft()Fs()F()()jtFftedt()()[()]sttjtFsftedtfteedt4.傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系当信号的拉氏变换存在且收敛域包含虚轴时，其傅氏变换可用其拉氏变换表示为()()|sjFFs(5.2.11)47例5.2.4已知信号的傅氏变换存在，求的拉氏逆变换。解：的极点为，由于信号的傅氏变换存在，的收敛域必包含轴。所以，ROC为()ft11()25Fsss()Fs12p25p()ft()Fsj221(),22teutsL51(),55teutsL25()()()ttfteuteut485.3拉普拉斯变换的性质11()()ftFsL1ROC:R22()()ftFsL2ROC:R11221122()()()()aftaftaFsaFsL12ROC:cRRR1.线性:已知则注意：由于可能出现极点和零点抵消，收敛域可能大于交集。收敛域包含R1和R2的交集，也可以是空集。(5.3.1)49例5.3.1已知，求的拉普拉斯变换。解：其中，由于的极点被零点所抵消，所以的ROC扩大为221()()(2)(s+3)ftFss，-2111()()2ftFss，-212()()()ftftft121()()(),33FsFsFss2s2s()Fs3502.时移特性:如果则()(),ROC:ftFsRL00()(),ROC:stcftteFsRRL(5.3.2)0000000()[()]()()()()stsxtststsxLTfttfttedtxtttxtdtdxfxedxefxedxeFs证明：令：，则，，于是上式可以改写为：51此性质说明，若波形延迟了t0，则它的拉氏变换应乘以。由于与零极点相同，故二者收敛域相同。根据时移特性，可得0ste0()steFs()Fs000()00()ststteeuttssL000()sttte000()00()ss