10单孔的夫琅和费衍射

5.4单孔的夫琅和费衍射计算夫琅和费衍射问题，可以直接使用我们上次课得到的衍射积分公式，也可以用菲涅耳半波带法和相辐矢量分析法。1单缝的夫琅和费衍射fSCL∑yΠξηx衍射物只在ξ方向上限制入射光波，在η方向不受限制。因此单缝衍射是一维问题。入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（单缝）的透射系数为：0rect)(at则透过衍射物之后的复振幅为：0rect)()(atA代入我们上次课得到的一维孔径夫琅和费衍射积分公式即可。dydxadyxdjkdjyxE222exp1),(其中：ddxjAdxa2exp)(ddxja2exprect0dxaa00sinc代入上式，可得单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：fyfxafyxfjkfjayxE2200sinc2exp),(单缝夫琅和费衍射屏上的辐照度分布：2),(),(yxEyxLfyfxafa022220sinc单缝夫琅和费衍射屏上的衍射图形见教材186页图（a）图（b）令：0)(xL得：0/afx所以中央亮斑的条纹宽度：0/2afw不难得出，其他条纹的宽度是中央条纹宽度的1/2。f/a0-f/a02f/a0-2f/a0x1L/L00辐照度分布：斜入射情况：S∑β入射光是斜入射平面波，可设入射光的复振幅为：rkjexpS∑βsinexpjk则透过衍射物之后的复振幅为：0rect)sinexp()()sinexp()(ajktjkA其傅立叶变换为：ddxjAdxa2exp)(ddxjAdxa2exp)(sinsinc00dxaa斜入射时单缝夫琅和费衍射屏上的复振幅分布：fyfxafyxfjkfjayxE22sinsinc2exp),(00辐照度分布：fyfxafayxLsinsinc),(022220所以斜入射时屏上的复振幅分布不变，只是有了一个平移：sinfxξη2矩孔的夫琅和费衍射fSCL∑yΠx这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。但是对于可分离变量的透射系数，可简化为分别计算两个一维积分。入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。设衍射物（矩孔）的透射系数为：0021rectrect)()(),(battt则透过衍射物之后的复振幅为：0021rectrect)()(),(baAAA函数)(),(21AA的傅立叶变换为：dxaadxa001sincdybbdya002sinc上次课得到的夫琅和费衍射积分公式：dddydxjkEyx2djkdjjkdyxE22exp,expexp,利用刚才求得的傅立叶变换结果：fybfxabayx2fjkfjjkfyxE220000sincsincexpexp,屏上的辐照度分布：2),(),(yxEyxLfybfxafba0202222020sincsincfybfxaL0202sincsinc)0,0((1)衍射光强分布对于沿x轴的光强度分布，因y=0，有fxaLxL02sinc)0,0()0,(当x=0时(对应于原点)，有主极大。在α为整数处，有极小值，L=0，与这些α值相应的点是暗点，暗点的位置为2sinc)0,0(L0afmx(m=±1,±2,…)相邻两暗点之间的间隔为：0afx在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置由下式决定:0)(sinc2ddtan夫朗和费矩形孔衍射在y轴上的强度分布特性与x轴类似。在x,y轴以外各点的光强度，可按式进行计算，图给出了一些特征点的光强度相对值。显然，尽管在xOy面内存在一些次极大点，)(sinc2夫朗和费矩形孔衍射图样中一些特征点的相对强度(2)中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在x,y00bfyafx和中央亮斑面积为002204bafS该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大.(3)衍射图形状当孔径尺寸a0=b0,即为方形孔径时，沿x,y方向有相同的衍射图样。当a0≠b0，即对于矩形孔径，其衍射图样沿x,y方向的形状虽然相似，但线度不同。例如，a0b0时，衍射图样沿x轴亮斑宽度比沿y轴的亮斑宽度大。5.5圆孔的夫琅和费衍射由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只ξηfSCL∑yΠx这是一个二维衍射问题，需要计算一个二重积分。考虑到圆孔的对称性，在极坐标系中处理比较简便。设圆孔上任一点的位置坐标为ρ、β，与相应的直角坐标x,y的关系为：ξ=ρcosβη=ρsinβ类似地，观察屏上任一点的位置坐标r、ω与相应的直角坐标的关系为sincosryrxdddydxjkEyx2djkdjjkdyxE22exp,expexp,ddfrjkEr2fjkfjjkfrE)cos(exp,expexp,2由此，屏上光场复振幅，在经过坐标变换后为：fr/是衍射角。设衍射物（圆孔）的透射系数为：circ)(tε是圆孔的半径。入射光是平面波，可设入射光的复振幅为1。则透过衍射物之后的复振幅为：circ),(E代入后：ddfrjkr2fjkfjjkfrE)cos(expexpexp,2根据零阶贝塞尔函数的积分表示式：dixxJ200)cosexp(21)(可将上式变换为：002expexp2,dfrkJr2fjkfjjkfrE这里已利用了J0(x)为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质:)()(10xxJdxxxJ式中，J1(x)为一阶贝塞尔函数，可得:frkJ2frfjkjrrE12exp,屏上的辐照度分布：2)()(rErL21frkJrfrkfrkJf1222可以证明，x＝0时，1)(21xxJ屏上中心点辐照度：22)0(fL令：frk则：21)(2)0()(JLL21)(2)0()(JLL基于此式，可以得到夫朗和费圆孔衍射的如下特点：(1)衍射图样由上三式可见，夫朗和费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角θ有关(或者，由θ=r/f，仅与r有关)，而与方位角ω坐标无关。这说明，夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。fr/是衍射角。frk0/LL圆孔夫琅和费衍射的强度分布21]/)(2[J(2)爱里斑由上表可见，中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的83.78%，这个亮斑叫爱里斑。爱里斑的半径r0由第一光强极小值处的ψ值决定，即：22.1010frk因此ffr61.0222.10或以角半径θ0表示61.000fr5.6光学成像系统的分辨本领瑞利判据从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。但实际上，光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，所以讨论它们的分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为理论基础。如图所示，设有S1和S2两个非相干点光源，间距为ε，它们到直径为D的圆孔距离为R，则S1和S2对圆孔的张角α为R由于圆孔的衍射效应，S1和S2将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为θ0：D22.10根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5%(对于缝隙形光阑，约为81%)。于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像的爱里斑角半径θ0决定了该系统的分辨极限。几种光学成像系统的分辨本领(1)人眼睛的分辨本领人眼的成像作用可以等价于一个单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔直径约为1.5～6mm（视入射光强的大小而定)。当人眼瞳孔直径为2mm时，对于最敏感的光波波长λ=0.55μm，按(3-42)式可以算得人眼的最小分辨角αe为通常由实验测得的人眼最小分辨角约为1′(=2.9×10-4rad)，与上面计算的结果基本相符。radDee4103.322.1(2)望远镜的分辨本领望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物镜的圆形通光孔径直径为D，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨开，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角α为D22.10这也就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的直径D愈大，分辨本领愈高，并且，这时像的亮度也增加了。例如，天文望远镜物镜的直径做得很大(可达6m)，原因之一就是为了提高分辨本领。对于λ=0.55μm的单色光来说，其最小分辨角α=0.023′=1.12×10-7rad，比人眼的分辨本领要大三千倍左右。通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角，即放大率应为eeDDM(3)照相物镜的分辨本领照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片的位置大致与照相物镜的焦平面重合。若照相物镜的孔径为D，相应第一极小的衍射角为θ0，则底片上恰能分辨的两条直线之间的距离ε′为Dff22.1'0习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成多少条恰能分开的线条数N表示，N为fDN22.11'1式中，D/f是照相物镜的相对孔径。可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。例如，对于D/f=1∶3.5的常用照相物镜，若λ=0.55μm，则N=1490×1/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。例如，对于上面的例子，应选择分辨本领大于425条/mm的底片。(4)显微镜的分辨本领显微镜由物镜和目镜组成，在一般情况下系统成像的孔径为物镜框，因此，限制显微镜分辨本领的是物镜框(即孔径光阑)。显微镜物镜的成像如图所示。点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜的