概率统计

李开复给中国大学生的信大学是人一生中最为关键的阶段。从入学的第一天起，你就应当对大学四年有一个正确的认识和规划。为了在学习中享受到最大的快乐，为了在毕业时找到自己最喜爱的工作，每一个刚进入大学校园的人都应当掌握七项学习：学习自修之道、基础知识、实践贯通、兴趣培养、积极主动、掌控时间、为人处事。补：揭开博彩之秘有时我们会看到有人拿色子玩赌博游戏，并声称获奖机会很大，制定规则如下：掷色子前先交游戏费4元，然后由参加者随机地掷两枚色子，记两枚色子点数之和为X，中奖金额Y（元）如下：1065400045610Y12111098765432X如果粗略地看一下上表，获奖机会确实“很大”，掷出点数共有11个结果，除掷出6、7、8点外，其余情况参赛者都不会赔，而实际情况是不是像组织者宣传的呢？我们用概率方法揭开其中的“奥秘”。1065400045610得奖(元)对应概率6210-4-4-40126净收益(元)23456791211108点数之和361平均净收益=6×1/36+2×2/36+1×3/36+0+(-4)×5/36+(-4)×6/36+(-4)×5/36+0+1×3/36+2×2/36+6×1/36=-19/18236336436536636536436336236361一个犯人被判了死刑。在执行前，国王给了他一个免死的机会。国王令这犯人将50个白球和50个黑球放进两个外表完全一样的坛子里，然后让侍卫将这两个坛子随意掉换，直至囚犯认不出哪个坛子放了什么球为止，再命令囚犯从其中的一个坛子中摸出一个球来。如果摸出白球，便立刻释放；若摸出黑球，则立即处死。结果，这个囚犯凭智慧得以死里逃生。你知道他是怎么做的吗？补：“聪明的囚犯”经过一番思索后，他决定在第一个坛子里只放入1个白球，然后把剩余的49只白球和50只黑球统统放入第二个坛子里。这样一来，如果他幸运地抽中第一个坛子，那必然逃生，因其概率为1；倘若他抽中第二个坛子，则抽得一个白球的概率为49/99。但请注意，他首先要选择取哪一个坛子（作为条件），而取得任一个坛子的概率均为1/2。于是取得白球的概率应为1/2×1+1/2×49/99=74/99≈0.75以上的案例主要涉及第1、2章随机变量第3章随机向量两名同学约好16:20-16:30在4号楼门口见面去打羽毛球,求先到者等待时间不超过3分钟的概率?将来的毕业论文用数据说话;考研的必修课.第4章数字特征每个教室一天的用电量3-15度,求100个教室每天的用电总量超过1000度的概率?第5、6章数理统计期末考试平均分在65-75之间的可能性有多大?降水概率60%时你通常带雨具吗?第8章回归分析(第7章大纲无要求)收入与支出间的关系第1章随机事件及其概率1.1随机事件一、基本概念1.随机试验——对随机现象进行的实验与观察.继续7.不可能事件（Φ）6.必然事件（Ω）5.随机事件——Ω的子集，常用A、B、C…表示.4.基本事件——Ω的单元素子集，即每个样本点构成的集合.3.随机试验的样本空间（Ω或S）——随机试验的所有样本点构成的集合.2.随机试验的样本点——随机试验的每一个可能结果.重复性,明确性,随机性.随机试验的样本空间举例、练习补例某同学18点到19点到达教室3-302，观察到达时间。返回例1掷一颗质地均匀的色子，观察出现的点数Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}Ω={t|18≤t≤19}t为到达时刻补充练习选择题1.将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为：A.{（正，正），（反，反），（一正一反）}B.{（反，正）（正，反），（正，正），（反，反）}C.{（一次正面），（两次正面），（没有正面）}D.{（先得正面），（先得反面）}样本空间——随机试验的所有样本点构成的集合.基本事件和随机事件举例在掷色子的试验中，我们设ωi代表出现的点数为i(i=1,2,3,4,5,6)，则ωi为样本点。且记Ai={ωi}；则Ai为基本事件。返回则B={ω2,ω3}B、C为随机事件则C={ω2,ω4,ω6}B=“出现的点数为2点或3点”C=“出现偶数点”事件A发生当且仅当A中某个样本点出现.记号含义文（Venn）图)(BABAA与B至少有一个发生（A与B的和(并)事件）Ω二、事件的关系与运算BAA发生,则B一定发生(A是B的子事件)BAΩ记号含义文（Venn）图BAA与B不能同时发生互斥(互不相容)BABA,A与B发生且只能发生一个BA(A与B互为对立事件)注意：对立必互斥，反之不一定成立。A)(AB)(ABBAA与B同时发生(A与B的积(交)事件)BAΩA不发生（A的对立事件或逆事件）ABABAΩA发生而B不发生（等价于A-AB或AB)记号含义文（Venn）图注意事项1、事件的运算和集合的运算规律一样：具有交换律、结合律和分配律；继续2、灵活运用吸收律（例）及De.Morgan法则；AABBBAABABBABABAABABAABAABA;;3、常用关系式：ABABABAB补:吸收律的运用等ACBCABABCBCACBACAB}4,3,2,1{}3,2{}4,3,2{}3,2,1{}3,2,1{}3{}3{}3,2,1{返回})2{}3,2({}2,1{}3,2,1{}3,1{}2{}3,2{}2,1{)(}4,3{}4,3{}4,3,2,1{}4,3{}4,3{}4,3,2,1{CBACBABBABBA事件运算中的反例补:课堂练习1.设当事件A与B同时出现时C也出现,则()①A+B是C的子事件；②C是A+B的子事件；③AB是C的子事件；④C是AB的子事件。补:课堂练习2.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。3.设A、B、C为3个事件，则这三个事件中恰好有两个发生的事件如何表示；这三个事件中至少有两个发生的事件如何表示；这三个事件中最多有两个发生的事件如何表示?（课下练习或P4习题1.13）练习1.1(A)P43，41.2事件的概率1、古典概型设S为随机试验E的样本空间，若①（有限性）S只含有限个样本点，②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。引例：156名同学中有40个已过英语4级,随机点一名同学恰好过4级的概率？2、古典概率的定义设E为古典概型，S为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率P(A)=有利于A的基本事件数/实验的基本事件总数知识回顾(一).排列与组合1.非重复的选排列:从n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数!()(1)(2)(1)()!kknnnAPnnnnknk!!kAkPCknknknknC2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k(kn)个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用表示,其中记作事，则完成这件事共有种不同的方法.mnnn21设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤才算完成这件补例：若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮23(二).乘法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有种方法.n1+n2+…+nm补例：某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班3+2回答是种方法从甲地到乙地共有多少种方法?(三).加法原理例1.2.1(p5)箱中装有10件产品，其中1件是次品，在9件合格品中有6件是一等品，3件是二等品。现从箱中任取3件，试求下列事件的概率：（1）取得3件产品都是一等品的概率；（2）3件产品中有1件是一等品有2件是二等品的概率；（3）取得3件产品中至少有2件是一等品的概率。?P6停下来想一想古典概型练习（产品的随机抽样问题）课堂测验1、（03级阶段测验）掷两枚骰子，求事件为出现的点数之和等于3的概率.张三是这样做的：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为2，3，…，12，所以，样本点总数为，属于事件的样本点只有一个，即.故由古典型概率定义得.你认为张三做的正确吗？请说明你的理由.}12,,3,2{11n}3{A111)(nmAP2、（03级期末考试）某科技馆在某一星期里曾接待过4位专家来访，求这4位专家在同一天来访的概率。概率的几种定义假设样本空间Ω是某个区域，这个区域可以是一维空间中的区间、二维平面中的区域或三维空间中的区域，并且假设每个样本点出现的可能性相同，我们规定A的概率为这里，L(.)在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积，用这种方法求得的概率称为几何概率。)()()(LALAP补：几何概率的定义②古典概率的定义①概率与几何图形的面积很相似BA(设Ω是边长为1的正方形)概率几何1)(0AS,1)(S0)(S)()()(BSASBAS1)(0AP,1)(P0)(P)()()(BPAPBAP补充③公理化定义——把满足非负性、规范性、可列可加性的事件的函数称为概率。11)()(...)2,1(;1)(,0)(;1)(0iiiiiAPAPiAPPAP互斥概率的几种定义(P7)概率的性质(1)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.可推广到有限个事件的情形(多退少补原则)。(5)(6)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B)P(A)+P(B)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)(2)(3)(4)(7)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A)若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)P(A)≤P(B);补:P(φ)=0，P()=1，逆不一定成立.例1.2.2(P7)设事件A出现的概率是0.6，A与B都出现的概率是0.1，A与B都不出现的概率为0.15,求：（1）A出现B不出现的概率；（2）A与B至少出现一个的概率.补：P(B-A)?解：依题意，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（）=0.15，BA则P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5P（A+B）=1-P（）=1-P（）=1-0.15=0.85BABA又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，P（B-A）=P（B）-P（AB）=P（A+B）-P(A)从而，P（B-A）=0.85-0.6=0.25补：参考资料