2.4内积空间的标准正交基

2.4内积空间的标准正交基2.4.1标准正交集定义2.4.1（标准正交集）设X为一内积空间，M含于X，若M中的所有元素之间是两两正交的，就称M为一正交集；再若M中每个元素的范数都是1，称M为标准正交集。标准正交集的性质：（1）任何标准正交集都是线性无关的。（2）若（e1,e2,……,en）是标准正交序列，则每一个x∈Span{e1,e2,……,en}都可以唯一的表示为1,niiixxee(3)对于任何线性无关的序列（xi），可以应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到一个标准正交序列（ei），使得对每一个n属于N都有Span{e1,e2,……,en}=Span{x1,x2,……,xn}2.4.2内积空间的标准正交系定义2.4.3（傅里叶级数）设（en）是内积空间X中的一个标准正交系，任给x∈X，则称级数为矢量x关于正交系（en）的傅里叶级数，x,en称为x关于en的傅里叶系数。01,iiixxee定理2.4.4设{en}是X中的标准正交集，M是由{en}中m个矢量张成的线性子空间，即M=Span{e1,e2,……,em}，对任意的x∈X，级数01,miiixxee是x在M上的正交投影。而且有：2201,miixxe22200xxxx定理2.4.5若（en）是内积空间X（无穷维的）的标准正交系，x∈X，则有下列贝塞尔不等式成立：221,kkxex定理2.4.6若（en）是内积空间X的标准正交系，M=Span{e1,e2,…,en}，x∈X，对任意的m维数组（α1,α2,…,αn）有11,mmkkkkkkxexxee2.4.3内积空间的标准正交基定义2.4.7（内积空间的完全标准正交系或标准正交基）在内积空间X中的标准正交系（en）被称作是完全的，是指X中不存在与所有en正交的非零元素。定理2.4.8设（en）是希尔伯特空间X中的标准正交系，x∈X，则等式221,kkxxe成立的充要条件是：（en）是完全的。上式也称为帕塞法耳等式。定理2.4.9如果（en）是希尔伯特空间X中的标准正交基，则任意的x∈X都可以表示为1,kkkxxee定义（完备的）设（en）是内积空间X中的标准正交系，如果对于每一个x∈X，帕塞法耳等式221,kkxxe恒成立，则称（en）是完备的。定理设（en）是希尔伯特空间X中的一个规范（标准）正交系，则下列性质等价：（1）（en）是完备的；（2）（en）是完全的；（3）对于X中任一元素x，级数在X中收敛于x；1,kkkxee（4）对X中任意两个元素x，y有1,,,kkkxyxeye2.4.4常用标准正交基举例1、勒让德多项式通项：2211dP()(1)22!dnnnnnnxxnx另外，拉普拉斯方程在求坐标系下分离变量2222222111()(sin)0sinsinuuurrrrrr得到勒让德方程2(1)2'(1)0xyxynny勒让德方程为：0kkkyax设级数解为：21dP()(1)2!dnnnnnxxnx[]220(22)!P()(1)2!()!(2)!nknknnknkxxknknk为勒让德多项式的级数表示．注意到cosx,故可方便地得出前几个勒让德多项式:0P()1x1P()cosxx2211P()(31)(3cos21)24xx3311P()(53)(5cos33cos)28xxx42411P()(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P()(637015)(63cos535cos330cos)8128xxxx642611P()(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机绘图(如MATLAB)得到图19.1当nl时满足11P()P()0nlxxdx3、拉盖尔多项式氢原子的定态薛定谔方程ErUm)](2[22rerU024)(0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr0])4(2[)(10)sin()(sinsin1020222222222RrreEmdrdRrdrdrmddddmddll分离变量，得到