2.4导数应用(1)函数的单调性与极值

经济数学3.4函数的凹向与拐点(1)几何意义2.4.1罗尔定理?一条闭区间[a,b]上的连续曲线，在相应的开区间（a,b）内光滑，并且区间端点的函数值相等，那么，区间内是否存在这样点呢，使得过这点的切线水平？经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(1)几何意义2.4.1罗尔定理3.1微分中值定理结论：一条闭区间上的连续曲线y=f(x),如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x轴的切线，那么其上至少有一条平行于Ox轴的切线(如图所示).且两端点处的纵坐标相等，xyoQ1baBAC1C2Q2经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)罗尔定理2.4.1罗尔定理3.1微分中值定理定理3.1.1如果函数满足下列条件：)(xf⑵在开区间内可导；),(ba⑴在闭区间上连续；],[ba⑶；)()(bfaf则在区间内至少存在一点,使得0)(f),(ba经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.4.1罗尔定理3.1微分中值定理例１验证罗尔中值定理对函数，在区间233)(xxxf]0,3[上的正确性。并求出罗尔定理结论中的。解：因为是初等函数，所以在上连续；233)(xxxf)(xf]0,3[xxxf63)(2)0,3(在)(xf)0()3(ff又因为，所以内可导；而所以满足定理的条件。且f(x)=3x2+6x，所以有以下等式：.063)(f2.因为0不在开区间(-3,0)内.故舍去.20，解得所以，取2，使得.0)(f经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(1)引子2.4.2拉格朗日中值定理3.1微分中值定理当罗尔定理的条件(1)、(2)成立，而条件(3)不成立时，即闭区间[a,b]上连续，相应的开区间(a,b)光滑，其图形会有什么现象？是否还会存在某点，使得其切线与端点的连线平行呢？?思考：经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)几何意义2.4.2拉格朗日中值定理3.1微分中值定理结论：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x轴的切线，那么该曲线上至少有这样一点存在，在该点处曲线的切线平行于联结两端点的直线(如图所示).xyobaBAQ1Q2C1C2经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)拉格朗日中值定理2.4.2拉格朗日中值定理3.1微分中值定理定理2.4.2如果函数满足下列条件：)(xf（2）在开区间内可导；),(ba（1）在闭区间上连续；],[ba)()()(fabafbf则在区间内至少存在一点,使得),(ba经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(4)举例2.4.2拉格朗日中值定理问函数f(x)=x3–3x在[0,2]满足拉格朗日定理的条件吗？如果满足请写出其结论.例1解：显然f(x)在[0,2]上连续；在(0,2)内可导；定理条件满足。且f(x)=3x2–3，所以有以下等式：).(02)0()2(fff由于f(2)=2，f(0)=0，f()=32–3，将这些值代入，可解得，32是在开区间(0,2)内的，为所求结论.32显然经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(5)推论2.4.2拉格朗日中值定理推论3.1微分中值定理推论1()fxC?设函数f(x)在区间（a，b）内可导且恒有有则f(x)是什么函数？思考：()0fx若在区间（a，b）内恒有，则在区间（a，b）内()0fx经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(5)推论2.4.2拉格朗日中值定理推论3.1微分中值定理推论2C)x(g)x(f?设函数f(x)、g(x)在区间（a，b）内可导且有则f(x)与g(x)之间有何关系？思考：)()(xgxf若在区间（a，b）内恒有，则在区间（a，b）内有)()(xgxf经济数学3.4函数的凹向与拐点(1)引子2.5.1函数的单调性结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即0)(xf（1）观察单调增函数的图像（右图），当函数单调增加时，这条曲线沿轴正向是上升的。若该曲线是光滑的，那么在区间内每一点的切线都存在，其倾斜角如何？)(xfy),(baxxyo2l11l2y=f(x)经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(1)引子2.5.1函数的单调性结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即0)(xf（2）观察单调减函数的图像（右图），当函数单调减少时，这条曲线沿轴正向是下降的。若该曲线是光滑的，那么在区间内每一点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？)(xfy),(baxxyo1l12l2y=f(x)3.３函数的单调性与极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(1)引子2.5.1函数的单调性由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？?结论是肯定的3.３函数的单调性与极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)定理2.5.1函数的单调性定理3.3.1设函数在内可导：)(xf),(ba（2）如果在内，则函数在内单调减少。),(ba),(ba)(xf0)(xf（1）如果在内，则函数在内单调增加。),(ba),(ba)(xf0)(xf3.３函数的单调性与极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)定理2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值说明1：定理3.3.1中的开区间换，，等其它各种区间，定理3.6的结论仍然成立。],(b),[a),(说明2：与换成与（等号只在个别点成立），定理3.3.1的结论是否仍然成立？0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值例１讨论函数在区间内的单调性。xxxf3)()100,10(13)(2xxf解：因为013)(2xxf所以在区间（-10，100）内xxxf3)(由定理3.3.1可知在区间（-10，100）内单调递增。经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值例2讨论函数的单调性。xxxfln)(xxxfln)(),,0(xxf11)(解：因为的定义域为1x,0)x(f当时，10x0)(xf当时，),1()(xf由定理3.3.1知是的单调递增区间,)1,0()(xf是的单调递减区间。经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值由定理3.3.1可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的符号来进行判定。当连续时，的正负值的分界点是使或不存在的点（如例2与例3）.)(xf)(xf)(xf0)(xf我们把的点称为函数的驻点或稳定点。)(xf0)x(f00x经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值例3求函数的单调区间。315923xxxy15183)(2xxxf)x(f),,(解：因为的定义域为0)(xf5x,1x令得驻点，列表讨论x)('xf)(xf1(1,5)(-,1)5(5,+)+-+所以函数的单调增区间是、单调减区间是)(xf)1,(),5()5,1(经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)举例2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值例4证明：当时，。0xxex1,x1e)x(fx0)0(f证明：令则),0x(01e)x(fx又因为),0(xexfx1)()0x()0()(fxf所以函数在单调增加,即)0x(0x1ex)0x(x1ex所以经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(4)练习题一2.5.1函数的单调性3.３函数的单调性与极值2、讨论函数的单调性。32)(xxf1、讨论函数的单调区间．3129223xxxy答案：单调增加区间是；单调减少区间是),0()0,(答案：单调增加区间是、；单调减少区间是)1,(),2()2,1(经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(1)引子2.5.2函数的极值3.３函数的单调性与极值观察图像：函数在点，处有何特点？)(xf1x2x)(1xf显然，在的周围其他点的函数值比小，在周围其他点的函数值比大。)(xf1x2x)(2xfxyoy=f(x)x1x2经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)定义3.３函数的单调性与极值定义3.3.1设函数在点某领域内有定义，如果在该领域内任取一点，均有，则称是函数的一个极大值，称为的极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点，均有，则称是函数的一个极小值，称为的极小值点．)(xf0x)(0xxx)()(0xfxf)(0xf)(xf0x)(xf)(0xxx)()(0xfxf)(0xf)(xf)(0xf)(xf2.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(2)定义3.３函数的单调性与极值xyox1x2x3x4x5x6ab从图中我们可以看到点、是极大值点，、是极大值；、、是极小值点，、、是极小值。2x5x)(2xf)(5xf1x4x6x)(1xf)(4xf)x(f62.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)定理3.３函数的单调性与极值函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。定理3.3.2（极值存在的必要条件）如果函数在点可导，且在点处取得极值，则必有。)(xf0x0x0)(0xf2.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)定理3.３函数的单调性与极值定理3.3.2说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。那么我们要问哪些驻点才是极值点呢？除了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？?不过由定理3.3.2可以肯定，如果是函数的极值点且存在，则一定是驻点．因此函数的驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，这样寻求函数的极值点的范围就大大的缩小了，只须对驻点和导数不存在的点逐个进行判断即可．0x0x)x(f02.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(3)定理3.３函数的单调性与极值定理3.3.3（极值的第一充分条件）设函数在的某个领域内可导，且。)(xf0x0)(0xf⑴如果当时，；当时，,则函数在处取得极大值。0xx0)(xf0xx0)(xf)(xf0x⑵如果当时，；当时，则函数在处取得极小值。0xx0)(xf0xx0)(xf)(xf0x0x)(xf)(xf0x⑶如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处不取得极值。2.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(4)求函数极值的基本步骤3.３函数的单调性与极值由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：（1）求函数的定义域。)(xf（2）求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点。)(xf0)(xf)(xf（3）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，得到极值点。)(xf)(xf（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值。)(xf2.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(5)举例3.３函数的单调性与极值例5求函数的极值。2332)(xxxf),,()1(666)(2xxxxxf解：因为函数的定义域为,0)x(f,0x112x令得驻点列表分析x)('xf)(xf0(0,1)(-,0)1(1,+)+-+f(0)=0f(1)=-1所以，)(xf有极大值极小值,0)0(f1)1(f2.5.2函数的极值经济数学3.4函数的凹向与拐点经济数学(5)举例3.３函数的单调性与极值例6求函数的极值。32)2(1)(xxf),,(31)2(32)(x