电磁场数值计算

数值计算电磁场数值计算下页上页当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）的方法。1.电磁问题的划分①场源问题已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。VrVrerd4)(jJAVrVrerd4)(j数值计算RRqeE20π4dd体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场SdldVqdd，，下页上页1221101k2V34k3k4VV1d()[4πdd]NkkkkkkkqVRRSlRREreeee矢量的积分()d4VρrφVπεr数值计算下页上页()d4VμrVπrJA静磁场中元电流产生的电场VRerJBVRd420)(体电流S2RSRerKBd40)(面电流①边值问题已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。数值计算1.静电场的边值问题（BoundaryProblem)边值问题场域边界条件(待讲）分界面衔接条件强制边界条件有限值lim0r自然边界条件有限值rrlim微分方程边界条件初始条件21＝nn2211泊松方程/2＝－拉普拉斯方程02＝下页上页数值计算场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线))(2sfnS)()3sfnS＋（下页上页数值计算有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题下页上页数值计算试写出图示静电场的边值问题。0z2222222yxV100)1S(0)(大地，下页上页例解S1100VS250VV50)2S(大地以上空间：数值计算试写出图示平板电容器电场的边值问题。021212x221dx下页上页例解+q12-q21022222x0dxd/2011xSqσnεdxSqσnε2222211dxnεnε同一个条件010x参考点数值计算试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下页上页缆心为正方形的例解数值计算2.数值计算的基本过程下页上页物理问题计算模型选择数值计算方法计算结果的可视化处理评判结果的合理性和正确性关键步骤数值计算3.数值计算的基本思想下页上页①将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。②把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。包括：用有限维代替无限维；用有限过程代替无限过程；用有限解析区域代替无限区域；用线性代替非线性；用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；数值计算下页上页结论数值方法是近似方法。关键是确保问题的解在允许的误差之内。数值计算的基本法则：①正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。③近似替代的误差最小原理；4.场域的离散化处理步骤（1）求解区域的离散化处理；（2）在每个离散单元内，用近似函数代替复杂函数。②求解区域的离散化处理；数值计算下页上页数值计算下页上页数值计算下页上页1.常数单元定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体积）中为一个常数。0l0l2.线性单元电荷分布不连续定义被求函数在一个单元中按线性变化。一维时有：1122()1aτxaaxxa＝数值计算下页上页ii1jj211xτaxτa＝解得：jiijji12jijixτxτττaaxxxx＝＝若用二次函数：2123()σxaaxax＝三个待定常数二维时有：123(,)φxyaaxay＝imjiii12i3ijjj12j3jmmm12m3m(,)(,)(,)φxyaaxayφxyaaxayφxyaaxay＝＝＝数值计算下页上页若用二次函数：六个待定常数22123456(,)φxyaaxayaxyaxay＝3.局部坐标（形状函数）局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、有效的方法。一维时：0()-111122()τξNτNτ＝121(1)21(1)2NξNξ1212110101ξNNξNN，，，，数值计算下页上页二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：iijjimNNNjmξNηNijm1NNN0m(001)j(010)i(100)ΔjΔiΔmxym(01)j(10)i(00)令注局部坐标只在单元中有定义。数值计算下页上页局部坐标与整体坐标的转换ii111jj222im3331)21)21)2NabxcyNabxcyNabxcy（（（0mjiΔjΔiΔmxy1jmmj1jm1mjaxyxybyycxx2miim2mi2imaxyxybyycxx3ijji3ij3jiaxyxybyycxx数值计算下页上页局部坐标与整体坐标的转换0mjiΔjΔiΔmxy3iijjmmkk13iijjmmkk1xNxNxNxNxyNyNyNyNy3kk1(,)φxyNφ三维时局部坐标（体积坐标）：4iii1V1VNN，数值计算下页上页5.误差最小原理待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原理和变分原理。①变分原理如果可以找到算子方程的一个等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算子方程的解。有限元法就是依据这一原理泛函是函数的函数。但不是所有的算子都能找到其对应的泛函。注意数值计算下页上页满足第二类边界条件的泊松方程的泛函2s()ρφεφgsn对应的泛函：例2s2()dddVVφFφφVφρVsεn3kk1(,)φxyNφ令小单元的近似函数：对泛函中的待定系数求极值：k()0FφN得矩阵方程：kKφE数值计算下页上页②加权余数原理使近似函数和真解之间的误差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效矩阵方程。边值问题：例220S10S20VVφφtφfφφφgn误差或余数：201S102S2VφfRφφRφgRn数值计算下页上页选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：1122S1S2ddd0VVWRVWRsWRs选择权函数是关键。选择不同的权函数得到以不同名称命名的数值计算方法。注意6.区域元法及边界元法①区域元法指近似解在边界满足边界条件，使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有限元法为区域元法数值计算下页上页1122S1S2ddd0VVWRVWRsWRs120RRd0VVWRV3kk1(,)φxyNφ2VφfR2d0VWφfV2kkd0VWNφfV2kkddVVφWNVWfV得矩阵方程：kKφE数值计算下页上页选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：1122S1S2ddd0VVWRVWRsWRs①边界元法指近似解满足区域内的函数，使边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法为边界元法。数值计算下页上页7.计算误差①简化物理模型产生的误差②计算参数和实际参数之间的差异产生的误差③截断误差（忽略高次项、单元大小）④循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）数值计算下页上页8.计算结果的校核①用具有解析解的例子考核②计算结果与预期目标之间是否矛盾③条件是否符合物理规律④计算结果是否满足边界条件⑤改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算结果的差异⑥用不同计算方法计算并比较⑦与其他人的计算结果比较⑧与实测结果比较数值计算下页上页例求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题0,00,0,0,0000100V0xyayxaxayayaxaxy、解022222yx近似两维模型U=100V0axay数值计算)πsin()πsin()π(sh110xanExannFUnnnn＝xxanUaEandπsin200.....,,nnU.....,,n531π442000下页上页傅立叶级数用分离变量法得槽内电场理论解：局限性得不到槽外空间电场。数值计算1.二维差分方程的建立下页上页有限差分的网格分割①场域的离散①不同的离散方式得到不同的差分方程②结点多，步长小，计算结果精确网格法h注意1有限差分法数值计算下页上页②用差分代替微分)()()(ΔxfhxfxfhxΔ增量一阶差分一阶差商xfhxfhxfxxfdd)()(Δ)(Δ二阶差商22222dd)(Δ)(ΔΔ)(Δxfhxfhxfxxf中心差分)2()2()(Δhxfhxfxf数值计算22220xy二维静电场边值问题下页上页有限差分的网格分割hx0110中心hx3030中心hhx3001022h1031221hh0220y中心h4040y中心hh4002022h1y042221h数值计算1234040)(4143210或下页上页③用差分方程个代替微分方程五点差分格式①选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。②选取计算方法，使误差小、计算快、经济有效。成功实现计算的关键数值计算若场域离散为矩形网格，写出差分格式13240222212121111()()()20hhhh矩形网格剖分下页上页例解13010110221hhhx0312121h24020220221yhhh0422221h数值计算3.差分方程组的求解下页上页差分方程的特点①当步长h减小，结点增加，方程数很大；②方程组的系数是有规律的；③各方程的项数只有5项。采用逐次近似的方法求解，常用的方法为超松弛迭代法数值计算下页上页1）松弛法①假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；②修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；③重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；松弛法的步骤0)4(R0432104max1ininiR④为达到精度，细分网格，重复以上过程。数值计算在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管线间的电位分布。下页上页例解AB000100V对称性，只需求八分之一区域V50BA1）设100504500500RA05045