第节高阶导数总结

高等数学●戴本忠171二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念高阶导数第二章高等数学●戴本忠172学习指导1.教学目的：通过本节学习理解高阶导数的概念,掌握高阶导数的计算方法。2.基本练习：学习这部分应进行的基本练习是熟记几个基本初等函数的n阶导数公式；熟记和、差、积、商的高阶导数求导法则；利用上述公式与法则进行高阶导数计算。3．注意事项：学习这部分应注意求的n阶导数时，往往要先利用初等数学方法先将函数化简，然后再利用已知函数的n阶导数公式与求导法去求。)1ln(,,cos,sin,xxxxex)(xf高等数学●戴本忠173我们把函数yf(x)的导数yf(x)的导数(如果可导)叫做函数yf(x)的二阶导数记作y、f(x)或22dxyd即y(y)f(x)[f(x)]或)(22dxdydxddxyd类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数;一般地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作yy(4)y(n)或33dxyd44dxydnndxyd高阶导数的定义高等数学●戴本忠174y(y)f(x)[f(x)])(22dxdydxddxydf(x)在x处有n阶导数，那么在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。)()1(xfn.)()(一阶导数零阶导数称为；称为相应地，xfxf高等数学●戴本忠175一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则问题：如何求函数的高阶导数？高等数学●戴本忠176高阶导数应用举例0,yay解例1y=ax+b,求y例2求,sintss解tstssin,cos2求n阶导数就是连续地求n次一阶导数。高等数学●戴本忠177例3证明:函数满足关系式22xxy013yy证将求导,得22xxy,21222222xxxxxxy22222222)1(2xxxxxxxxy3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx于是013yy高等数学●戴本忠178例4求函数yex的n阶导数即(ex)(n)ex一般地可得y(n)exyex解y(4)exyexyex例5求函数ln(1x)的n阶导数一般地可得y(4)(1)(2)(3)(1x)4解yln(1x)y(n)(1)(2)(n1)(1x)nnnxn)1()!1()1(1即nnnxnx)1()!1()1()]1[ln(1)(y(1x)2y(1x)1y(1)(2)(1x)3几个初等函数的n阶导数高等数学●戴本忠179例6求正弦函数和余弦函数的n阶导数解ysinx一般地可得)2sin(cosxxy)22sin()22sin()2cos(xxxy)23sin()222sin()22cos(xxxy)2sin()(nxyn即)2sin()(sin)(nxxn用类似方法可得)2cos()(cos)(nxxn)2sin(cosxxy)22sin()22sin()2cos(xxxy)22sin()22sin()2cos(xxxy)23sin()222sin()22cos(xxxy)23sin()222sin()22cos(xxxy)2sin()(nxyn即)2sin()(sin)(nxxn高等数学●戴本忠1710例7求幂函数yx(是任意常数)的n阶导数公式而(xn)(n1)0当n时得到即(x)(n)(1)(2)(n1)xn一般地可得yx1y(1)x2y(1)(2)x3y(4)(1)(2)(3)x4y(n)(1)(2)(n1)xn(xn)(n)(1)(2)321n!解高等数学●戴本忠1711求n阶导数时，求出若干阶后不要急于合并，分析结果的规律性，写出n阶导数(数学归纳法证明).高等数学●戴本忠1712例8.),,(sin)(naxybabxey求为常数设解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab高等数学●戴本忠1713这一公式称为莱布尼茨公式•函数和差的n阶导数•函数积的n阶导数用数学归纳法可以证明(uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuvnkkknknnvuCuv0)()()()(函数和差、积的n阶导数（高阶导数的运算法则）高等数学●戴本忠1714)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu高等数学●戴本忠1715例9.,)20(22yexyx求设则设,,22xveux解),20,4,3(0,2,22)(2)(kvvxveukxkk)20,2,1(k代入莱布尼茨公式,得0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex高等数学●戴本忠1716内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,高等数学●戴本忠1717作业P1031(5),(7),(9),(11),(12);3;4(2);6;10(1)