材料力学第5章弯曲应力(每页放2张)

1第5章弯曲应力第5章弯曲应力§5–1纯弯曲§5–2纯弯曲时梁的正应力§5–3弯曲正应力的强度条件及其应用§5–4弯曲剪应力§5–5提高弯曲强度的措施§5–6习题讨论课§5-1纯弯曲§5-1纯弯曲Fq(x)MeABmmFSMFFAAmmyxFSt?=Ms?=st2由梁横截面上的剪力和弯矩分析可知，弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；而剪力是切于横截面的内力系的合力。即弯矩M只与横截面上的正应力s有关；而剪力Fs只与剪应力t相关。BaaADCPP+-+PPPa0,0≠≠MFS剪切（横力）弯曲0,0≠=MFS纯弯曲一、纯弯曲梁实验研究实验现象：1°横向线(ab、ef)变形后仍为直线，它们相对旋转了一个角度，仍垂直弯曲后的纵线；2°纵向线变为曲线，且靠近底面的纵线伸长，靠近顶面的纵线缩短。1.平面假设：梁的所有横截面在变形过程中要发生转动，但仍保持平面，并且和变形后的梁轴线垂直。二、假设2.纵向纤维间无正应力。3中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。‚中性轴：中性层与横截面的交线。三、两个概念即横截面绕中性轴发生了轻微的转动§5-2纯弯曲时梁的正应力§5-2纯弯曲时梁的正应力一、变形几何关系dxooaby'o'o''以横截面的对称轴为y轴，且以向下为正，以中性轴为z轴设中性层的曲率半径为ρ，对于任意纤维ab，则变形前qrdooooab=′′==变形后qrdyba⋅+=′′)(4∴ab的相对变形为rqrqrqreydddyababba=-+=-′′=)()即纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比二、物理关系由虎克定律s=Eε，则resyEE==即横截面上各点正应力s与它到中性层的距离成正比y0，凸的受拉y0，凹的受压三、静力关系0ddd=====∫∫∫rrrszAAANESAyEAEyAF由三个内力分量分别为：∫=ANAFds0=zAMAy⋅=∫)d(s0=yAMAz⋅=∫)d(sM=0=zS∴z轴即中性轴过形心1.2.rrrsyzAAAyEIAyzEAEyzzAM====∫∫∫dd)d(0≡由于y轴是横截面的对称轴，即Iyz=0，上式自然满足M5ML3.MEIAyEAEyyAMzAAAz=====∫∫∫rrrsdd)d(22zEIM=∴r1式中EIz称为梁的抗弯刚度。zIyM⋅=⇒s正应力s正负判断：1°M0，y为正时，σ为拉应力即σ0M0，y为负时，σ为压应力即σ02°由凸凹性判断，凹侧为负，凸侧为正。[例1]受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）a-a截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求a-a截面的曲率半径。q=60KN/maa1m2mBARARBxM82qLM1Mmax+解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121=-==xqxqLxMkNm5.678/3608/22max=×==qLM12120zy180306MPa7.6110832.560106076121=×××===zIyMss4733mm10832.51218012012×=×==bhIz‚求应力MPa6.92max1max1==zIyMsMPa2.104maxmaxmax==zIyMsm4.194106010832.51020067311=××××==MEIzrƒ求曲率半径§5-3弯曲正应力的强度条件及其应用§5-3弯曲正应力的强度条件及其应用一、最大正应力maxmaxmaxmaxmax/yIMIyMzZ=⋅=smaxyIWWzz==令称为截面对中性轴z的抗弯截面系数(模量)zWMmaxmax=∴s二、几种特殊截面的抗弯截面系数1.矩形截面123bhIz=bhz62/2bhhIWzz==72.圆形截面644dIzp=322/3ddIWzzp==dzdDz3.圆环截面646444dDIzpp-=)1(322/43ap-==DDIWzz三、弯曲强度条件][maxmaxss≤=zWM上式适用于抗拉压强度相等的材料，如碳钢对抗拉压强度不相等的材料，如铸铁，需要分别校核抗拉强度和抗压强度][maxtztWMss≤=][maxczcWMss≤=依此强度准则可进行三种强度计算：四、弯曲强度条件的应用、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：][maxss≤][maxsMWz≥)(][];[maxmaxMfPWMz=≤s8[例1]图示为一铸铁梁，P1＝10KN，P2＝4KN，许用拉应力[σt]＝30MPa，许用压应力[σc]＝60MPa，Ｉz＝7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。[例2]制动装置的杠杆，用直径d=30mm的销钉支承在B处。若杠杆材料的ss=210MPa，取安全系数ns=1.5，试求许可载荷P1、P2。9[例3]T字形截面外伸梁如图示，已知[σc]／[σt]=3。求该梁最合理的外伸长度。22'§5-4弯曲剪应力§5-4弯曲剪应力P1P2qxdx1'122'dxoo1'2'12'34FsFsM(x)+dM(x)M(x)一、矩形截面剪应力的分布规律作如下假设2.沿宽度方向均匀分布。1.各处的剪应力τ与Fs同向；FS10***⋅+=+==∫∫**zzAzANSIdMMAyIdMMAF)(dd12s在右侧面2'4上，由微内力sdA组成的内力系的合力为式中∫**=AzAySd1*是横截面的部分面积A*对中性轴的静矩，即距中性轴为y的横线46以下的面积对中性轴的静矩。1y46FN2FN1*⋅=zzNSIMF1同理在顶面3465上，与顶面相切的内力系合力为dxbFdSt′=′∑=0XFQ012=′--∴SNNFdFF0**=′--+∴dxbSIMSIdMMzzzztzzSzzbISFbISxM**==′ddt由剪应力互等定理zzSbISFy*=′==ttt)(式中Fs---横截面上的剪力Iz---横截面对中性轴的惯性矩b---横截面宽度FN2FN111y1)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz-=-+==***)4(2)(222/11111**yhbdybydybydAyShyAAz-====∫∫∫**)4(222yhIFzS-=∴ttt5.123422max==⋅=AFhIFSzS故剪应力t沿高度h分布为抛物线当y=0时，t达到tmax最大剪应力为平均剪应力的1.5倍FS二、工字钢截面maxtmint)]2(21)[2()]22(212)[22(yhyyhbhHhhHBAyScz-+-+-+-==***yb)4(2)(82222yhbhHB-+-=zzbIQS*=t当y=0时当y=±h/2时(H-h)/2(H-h)/2B)]4(2)(8[2222yhbhHBbIFzS-+-=]8)(8[22maxhbBBHbIFzS--=t]88[22minBhBHbIFzS-=tbhFS=∴t12三、圆形截面pp3422RRSz⋅=*在中性轴上，剪应力达到maxzZSbISF*=∴maxtppp3422424RRRRFS⋅⋅⋅=AFRFSS34342==p四、剪应力强度条件][*maxmaxmaxtt≤=zzSbISF一般说，在剪力为最大值的截面的中性轴上，剪应力达到max，则在下列情况下，需要对梁进行剪应力强度校核2.自行设计的梁；1.短梁(l5h)；3.接缝处。13[例1]已知[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。P=200KN，l=3m，a=0.5m。试为图示梁选择工字钢型号。BaaADCPPl解：1°作Fs、M图2°根据正应力强度条件选择截面型号由强度条件][maxmaxss≤=zWM][maxsMWz≥∴3310625mm×=查型钢表，选择32a号工字钢+-+200KN100KN.m200KN3310692mmWz×=3°校核剪应力强度查型钢表，知32a号工字钢cmSIzz5.27max*=腹板厚度mmd5.9=bISFzzS*maxmaxmax=∴tdSIFzzS)/(*maxmax=MPa7.765.9105.27102003=×××=MPa100][=t同时满足正应力和剪应力强度条件，故选32a号工字钢14§5-5提高弯曲强度的措施§5-5提高弯曲强度的措施][maxmaxss£=ZWM主要考虑正应力强度条件：1.合理安排梁的受力情况，以减小最大弯矩Mmax；2.采用合理的截面形状，以提高抗弯截面模量WZ，充分利用材料的性能。一、合理安排梁的受力情况1.合理安排支座qlqla=0.2la22125.081qlql=+22025.0401qlql=2202.0501qlql=+-la207.0=∴讨论支座的最佳位置221qaqlaqlqlalql218181)2(2122-=--+--qlaql21812-221qa=合理时，|Mmax|=|Mmin|152.合理布置载荷Pl/2l/2Pl/65l/6Pl/4l/2l/4l/4l/2l/4P/2P/2Pl41++Pl365+Pl81lq=P/lPlql81812=+二、梁的合理截面1.截面形状相同，A一定时尽量提高Wz值zyhbzyhb2.截面形状不相同尽量提高Wz/A值2=dD2=bh工字钢mmD2.78=mmD9.79=mmb3.41=№103449cmWZ=2148cmA=226.37cmA=2334cmA=243.14cmA=3195.46cmWZ=3395.46cmWZ=3295.46cmWZ=978.0/1=AWZ25.1/2=AWZ38.1/3=AWZ28.3/2=AWZ163.从材料特性[s]角度考虑选择合理的截面形式1°塑性材料：][][ctss=上下对称截面：圆形，矩形，工字形等；2°脆性材料：maxmax][][ctctyy⇒ss＜上下不对称截面：T形，槽形等；中性轴偏向受拉一侧理想的中性轴的位置应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。][][maxmaxmaxmaxmaxmaxcczccttzttyIMyIMssss＜=≤=][][12maxmaxctctyyyyss==ZzMy1y2maxmaxctyy=⇒三、等强度梁][maxmaxss≤=zWM等截面梁WZ为常数，横力弯曲时弯矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到[σ]。宜采用变截面梁，且应使各横截面上的最大应力都达到[σ]。——等强度梁不合理！17PxxM21)(=2)(61)(hxbxWZ=xhPxb2][3)(s=2PFS=][22323minmaxtt≤==hbPAFShPb][43mint=)(xb[例]简支梁在集中力P作用下为等强度梁，设截面为矩形，且截面高度h=常数Pl/2l/2][2][)()(ssPxxMxWZ==由剪应力强度条件确定bmin[例]若矩形截面的宽度b=常数bPxxh][3)(s=][43mintbPh=18§5-6习题讨论课§5-6习题讨论课[例1]主梁为工字钢，Ｗz＝300cm3，其上有矩形截面的简支副梁，它可在主梁上沿轴线方向移动，两梁的［σ］＝100MPa，试问，当集中力Ｐ达到副梁强度所容许的数值时，主梁是否安全？（ｂ＝40mm，ｈ＝120mm，a＝0.5m）PL=4mzhbaaAB主梁副梁[例2]梁AB和杆CB均为圆形截面，而且材料相同，E=200GPa，［σ］＝160MPa，杆CB的直径d=20mm。在图示载荷下测得CB杆轴向伸长量ΔlCB=0.5mm。求载荷q的值及梁AB的安全直径。AL=4mBl=2mqC解：1°对于BC杆由虎克定律EAlFlNBCBC=ΔllEAFBCNBCΔ⋅=∴KN7.15=而qLFNBC21=mKNLFqNBC/85.72==2°对于AB梁822/|maxqLMLx==mKN⋅=7.15由强度条件WMmaxmax=s32/3maxDMp=][s≤mmD100≥∴即AB梁的安全直径D=100mm19[例3]矩形截面外伸梁由圆木制成，已知Ｐ＝5KN，［σ］＝10MPa，a＝1m，确定所需木料的最小直径ｄ。dhb2aaPP2aABCDRARB[例]图示外伸梁用直径