材料力学第四章

弯曲内力第四章§4-1(2)平面弯曲的概念及计算简图§4-2梁的剪力和弯矩§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§4-4弯矩，剪力与分布荷载集度之间的关系及应用§4-5平面桁架和曲杆的内力图I.弯曲的概念§4-1平面弯曲的概念及梁的计算简图梁：以弯曲变形为主的杆件。弯曲变形外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。受力特征：变形特征：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面平面弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为对称弯曲。ABP1P2RARB纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。II.梁的计算简图RHm（1）固定端在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁1。支座的简化RHR（2）固定铰支座(3)可动铰支座2，工程中常用到的静定梁悬臂梁外伸梁简支梁(3)几种超静定梁lABCq2lP2l例题:计算悬臂梁的支反力。RAmRPqBAlC解:求梁的支反力RA和mR。0P2qlRyA,00432,0PllqlmMRA2ql43l由平衡方程得：RAmRPqBAlC2ql解得：8322qlPlmPqlRRA43l例题：计算图所示多跨静定梁的支反力1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20M=5KN.mAECDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20M=5KN.mAECDKB再将副梁CB的两个支反力XC，YC反向，并分别加在主梁AC的C点处，求出AC的支反力。分析：先将中间铰C拆开，并通过平衡方程求出副梁CB的支反力。CM=5KN.mmKNq20xCyCRBDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20M=5KN.mAECDKB00CXX,055.23205,0CBym0320,0yRyCBkNRkNyXBCC29,31,0解：（1）研究CB梁，由平衡方程CM=5KN.mmKNq20xCyCRBDKB0,0AXXmkNmmAA5.961505.131,0kNRyA813150,0P=50KNyyCC'xxcc'XARAmAAEC（2）研究AC梁，由平衡方程１、Q和M的定义与计算§4—2梁的剪力和弯矩aPABmmxQ用截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyRACaPABmmx00QRyA由平衡方程得可得Q=RAQ称为剪力QxxmAmyRACaPABmmx可得M=RAx由平衡方程0mC0xRMAQxxmAmyRACM此内力偶称为弯矩aPABmmxQMBmmRBP取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。xxmAmyRACMQdxmmQQ+剪力符号使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时，横截面m-m上的剪力为正。或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。2,Ｑ和M的正负号的规定使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时，横截面m-m上的剪力为负。或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负。dxmm-mm+_当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时，横截面m-m上的弯矩为正；弯矩符号（受拉）MMmm（受压）当dx微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时，横截面m-m上的弯矩为为负。BdEDP2P1AabclCF例题：为图示梁的计算简图。已知P1、P2，且P2P1，尺寸a、b、c和l亦均为已知。试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩。021bPaPlRB0)()(21blPalPlRA解:0mBBdEDP2P1AabclCFRBRA0mA解得：lbPaPRlblPalPRBA2121)()(BdEDP2P1AabclCFRBRA记E截面处的剪力为QE和弯矩ME，且假设QE和弯矩ME的指向和转向均为正值。MEQEAECRABdEDP2P1AabclCFRBRA00EAQR,yAERQMEQE0,0cRMmAEE解得+cRMAE+BdEDP2P1AabclCFRBRAAECRAMEQEMEQEAECRAa-cP1P2b-ccDRBl-cBE取右段为研究对象BdEDP2P1AabclCFRBRA0y021PPRQBE0ME0)()()(21McbPcaPclREB解得：AERQ+cRMAE+MEQEMEQEAECRAa-cP1P2b-ccDRBl-cBEMFQFRBFdB计算F点横截面处的剪力QF和弯矩MF。BdEDP2P1abclCFRBRAMFQF0000dRMmRQyBFFBF,,RQBFdRMBF-+RBFdBBdEDP2P1abclCFRBRA解得：例题：图示简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷载集度为q0。试计算梁在C点处横截面上的剪力和弯矩lABCaq0解：求梁的支反力RA和RB0322,00llqlRmBA3,600lqRlqRBA032,00lRllqmAB3l20lq32llABCaq0RARB由平衡方程得：解得：QCMCRACaAlaqlaqa22200此合力距C点的距离为a/3laq0laq2203a在C点处梁上的荷载集度为该梁段上分布荷载的合力为3l20lq32llABCaq0RARB列出平衡方程0y0220QlaqRcA0mc03220alaqaRMCAQCMCRACaAlaq2203a3l20lq32llABCaq0RARBlalqlaqRQAC6)3(222020解得当3la时QC为正MC恒为正3220alaqaRMAClalaq6)(220QCMCRACaAlaq2203a3l20lq32llABCaq0RARB横截面上的剪力在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法横截面上的弯矩在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩例题：轴的计算简图如图所示，已知P1=P2=P=60kN，a=230mm，b=100mm和c=1000mm。求C、D点处横截面上的剪力和弯矩APP2CDBbacPP1kNPRRBA60RARB解：APP2CDBbacPP1kNPQC601计算C横截面上的剪力QC和弯矩MC。KN.m.bPMC061RARB看左侧APP2CDBbacPP1计算D横截面上的剪力QD和弯矩MD。060601PRQADmKNPacPacRMAD.8.13)(1看左侧APP2CDBbacPP1RARB1m2.5m10KN.mABC12RARB解：KNRA4KNRB4例题：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩CKNRQQAC41左KN.mRMMAC411左12左侧1m2.5m10KN.mABC12RARB求1截面的内力：KNRQQBC442)(右KN.m..RMMBC65141522)()(右KN.mRMMAC61012右12C右侧左侧1m2.5m10KN.mABC12RARB求2截面的内力：例题：求指定截面上的内力QA左，QA右，QD左，QD右，MD左，MD右，QB左，QB右。mKNq3m=3KN.m2m2m4mCADBRARB解：RA=14.5KN，RB=3.5KNQA左QA右QQQDDD右左mKNq3m=3KN.m2m2m4mCADBRARB看左侧看右侧KNq62KNqRA5.82KNRB5.3MD左MD左MD右MD右mKNq3m=3KN.m2m2m4mCADBRARB看右侧看左侧看右侧看左侧mKNmRB.42mKNqRA.4364mKNRB.72mKNmqRA.7364KNRQBB5.3左0QB右mKNq3m=3KN.m2m2m4mCADBRARB§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图Q=Q(x)M=M（x）剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。即：弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。xQ(x)Q图的坐标系oxoAPBl例题：图a所示的悬臂梁在自由端受集中荷载P作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。x解：将坐标原点取在梁的左端，写出梁的剪力方程和弯矩方程：0QA左PQA右PxQ)()0(lxPxxM)()0(lxAPBlQxPxMPxQ)()0(lxPxxM)()0(lxxAPBl2qlRRBA解：求两个支反力ABlRARB例题：图示的简支梁在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。q)2()0(222)()1(022lxqxqlxxqxxRxMl)x(qxqlqxRQ(x)AA取距左端为x的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。xABlRARBq)2()0(222)()1()0(2)(2lxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxQAAX=0处，2qlQX=l处，2qlQ+2ql2qlABlRARBqx剪力图为一倾斜直线。弯矩图为一条二次抛物线。0,0Mxx=l,M=0)2()0(222)()1()0(2)(2lxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxQAAxABlRARBq02)(qxqldxxdM令得驻点：2lx)2()0(222)()1()0(2)(2lxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxQAAxABlRARBq弯矩的极值：822maxqlMMlx)2()0(222)()1()0(2)(2lxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxQAA82ql2l+0,0Mxx=l,M=0822maxqlMMlxxABlRARBq梁在跨中点截面上的弯矩值为最大82maxqlM但此截面上Q=02qlQmax两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大82ql2l+xABlRARBq+2ql2qllPbRA解：梁的支反力为lPaRB例题：图示简支梁在C点处受集中荷载P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图lRAPABcabRB因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪方程力方程和弯矩方程lRAPABcabRB)()()()()()(2010axxlPbxMaxlPbxQ将坐标原点取在梁的左端)()()()()()()()()(43lxaxllPaaxPxlPbxMlxalPalblPPlPbxQAC段：CB段：xxlRAPABcabRB由（1），（3）两式可知，AC，CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线。+lPblPa)()()(10axlPbxQ)()()()(3lxalPalblPPlPbxQlRAPABcabRB由（