材料力学计算题库

第一章绪论【例1-1】钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。【解】（1）沿m-m截面假想地将钻床分成两部分。取m-m截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m-m截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。（3）由平衡条件∴【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δ=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。x方向【例1-3】图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。第二章拉伸、压缩与剪切【例题2.1】一等直杆所受外力如图2.1(a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2.1(b)所示)，假定轴力N1F为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程0xF，N1300F得N130kNF结果为正值，故N1F为拉力。同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2.1(c)所示)为N2304070(kN)F在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2.1(d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程0xF，N330200F得N3302010(kN)F结果为负值，说明N3F为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力N4F为N420kNFN1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(a)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(b)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(c)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(d)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(e)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(f)图2.1例题2.1图【例题2.2】一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知40kNP。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得3N1114010N0.69(MPa)(240mm)(240mm)FA(压应力)3N22212010N0.88(MPa)(370mm)(370mm)FA(压应力)由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa，是压应力。【例题2.3】一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为l，截面面积为A，材料容重为。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：应用截面法，在距下端距离为x处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为()Gx，则有()GxxA(a)设横截面上的轴力为N()Fx，则由平衡条件0xF，N()()0FxGx(b)将(a)式值代入(b)式，得N()FxAx(c)即N()Fx为x的线性函数。当0x时，N(0)0F当xl时，NN,max()FlFAl(a)(b)(a)(b)(c)图2.8例题2.2图图2.9例题2.3图式中N,maxF为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为N()()FxxxA(d)即应力沿杆长是x的线性函数。当0x时，(0)0当xl时，max()ll式中max为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径180mmD，壁厚8mm，气压2MPap，活塞杆直径10mmd，试求汽缸横截面B—B及纵向截面C—C上的应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1)求横截面B—B上的应力。取B—B截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件0xF，22N()04DdpF当Dd时，得B—B截面上的轴力为2N4FDpB—B截面的面积为2()()ADDD那么横截面B—B上的应力为2N1802411.25(MPa)448xDpFDpADx称为薄壁圆筒的轴向应力。图2.10例题2.4图(2)求纵截面C—C上的应力。取长为l的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平衡条件0yF，N10dsin202DplF得C—C截面上的内力为N12FplDC—C截面的面积为12Al当20D≥时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面C—C上的应力为N112180222.5(MPa)2228yFplDpDAly称为薄壁圆筒的周向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。【例题2.7】螺纹内径15mmd的螺栓，紧固时所承受的预紧力为22kNF。若已知螺栓的许用应力[]150MPa，试校核螺栓的强度是否足够。解：(1)确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有N22kNFF(2)计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为3N2242210124.63.14154FFdA(MPa)(3)应用强度条件进行校核。已知许用应力为[]150(MPa)螺栓横截面上的实际应力为124.6MPa＜[]150(MPa)所以，螺栓的强度是足够的。【例题2.8】一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：10kN/mq，8.8ml，1.6mh，钢的许用应力[]170MPa，试设计钢拉杆AB的直径。解：(1)求支反力AF和BF，因屋架及荷载左右对称，所以11108.844(kN)22ABFFql图2.25例题2.8图(2)用截面法求拉杆内力NABF，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)所示。由0CM，N4.41.6024AABllFqF得22N1444.4108.8184.4/1.660.5(kN)81.6ABAFFql(3)设计Q235钢拉杆的直径。由强度条件NN24[]ABABFFAd≤得3N4460.51021.29(mm)[]170ABFd≥【例题2.9】防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，AB为其中一根支撑杆。各杆为100mmd的圆木，其许用应力[]10MPa。试求支杆间的最大距离。解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。(1)计算简图。防水闸门在水压作用下可以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是AB杆的计算简图如图2.26(b)所示。图2.26例题2.9图(2)计算AB杆的内力。水压力通过防水闸门传递到AB杆上，如图2.26(a)中阴影部分所示，每根支撑杆所承受的总水压力为2P12Fhb其中为水的容重，其值为103kN/m；h为水深，其值为3m；b为两支撑杆中心线之间的距离。于是有323P11010345102Fbb根据如图2.26(c)所示的受力图，由平衡条件0CM，PN10ABFFCD其中2243sin32.4(m)34CD得33PN451018.75102.42.4ABFbFb(3)根据AB杆的强度条件确定间距b的值。由强度条件3N2418.7510[]ABFbAd≤得26233[]10103.140.14.19(m)418.7510418.7510db≤【例题2.10】三角架ABC由AC和BC两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆AC由两根No.14a的槽钢组成，许用应力[]160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为[]100MPa。求荷载F的许可值[]F。(a)(b)图2.34例题2.10图解：(1)求两杆内力与力F的关系。取节点C为研究对象，其受力如图2.34(b)所示。节点C的平衡方程为0xF，NNcoscos066BCACFF0yF，NNsinsin066BCACFFF解得NNBCACFFF(a)(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆AC和BC的横截面面积分别为44218.5110237.0210mACA，424210mBCA。根据强度条件NFA≤[]得两杆的许可轴力为643N[](16010)(37.0210)592.3210(N)592.32(kN)ACF643N[](10010)(4210)42010(N)420(kN)BCF(3)求许可荷载。将N[]ACF和N[]BCF分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许可荷载为N[][]592.32kNACACFFN[][]420kNBCBCFF所以该结构的许可荷载应取[]420kNF。【例题2.5】已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量200GPaE，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1)作轴力图；(2)计算杆的总伸长量。图2.37例题2.5图解：(1)画轴力图。因为在A、B、C、D处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。应用截面法得N300100300100(kN)ABFN300100200(kN)BCFN300(kN)CDF轴力图如图2.37(b)所示。(2)求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为3N3100103000.1(mm)200101500ABABABABFllEA3N3200103000.2(mm)200101500BCBCBCBCFllEA3N3300103000.45(mm)200101