第18讲欧氏空间、正交基

第四章向量空间第四节欧氏空间本节教学要求：▲了解向量的内积和向量正交的概念。▲知道欧氏空间的概念。▲了解向量空间的正交基的概念。▲能熟练地将向量空间的一般基转换为相应的正交基。一.欧几里得空间二.向量的正交性第四节欧几里得空间.的正交基向量空间三nR.正交化方法四一.欧几里得空间向量的内积,),,,(),,,(2121称和nnnRyyyxxx22111nniniiyxyxyxyx),(,。或记为的内积和为向量),(,。记为一般泛指内积时内积的运算性质;),(),(:.1对称性,),(),(),(:.222112211kkkk双线性性;),(),(),(22112211kkkk0,0),(:.3时等号成立。当且仅当正定性例,)0,2,2,8,1(,)2,5,3,0,2(则若02)2(52380)1(2),(6。205)2(32082)1(),(6。)(02255330022),(。正定性证。双线性性请自己举例验欧几里得空间,),(称为的向量空间定义了内积nR,,。记为简称为欧氏空间维欧几里得空间nEn,。向量与点被视为等同的在欧氏空间中,。“点”也可称为“向量”中的元素可称为nE向量间的夹角、欧氏空间中向量的长度,),,,(21的长度为定义向量nnExxx),(||||22221。nxxx:||||具有以下性质的长度向量;0||||,0,0||||:1.时当且仅当正定性||||||||||||:.3。三角不等式;||||||||||:.2kk齐次性||||),(20||0||:)0,,0,0(0.1。的长度等于零零向量1.2的向量称为单位向量。长度等于.4。均可单位化任何一个非零向量||||,.3。为单位向量则为非零向量若中向量间的距离欧氏空间nE,,称非负数设nE的距离。与中向量为nE||||),(d,),,,(,),,,(2121nnnEbbbaaa)()()(||||2222211。则nnababab,若由向量的长度的定义式例证中柯西不等式成立证明：在欧氏空间nE,,,),)(,(),(2V,线性相关时成立。与等号当且仅当其中,0,,.1则对任意实数线性无关与若,0||||),(2故有且)())((),(),(),(),(),(20),(),(2),(2。的二次三项式关于abc0?42cab得由二次三项式的知识可),)(,(),(2。,柯西不等式成立。线性无关时与即.2证明等号成立,有因为Rk),)(,(),(2kkk),)(,(2k,),)(,(kk:,),)(,(),(2立即可知比较与,。柯西不等式中等号成立线性相关时与当且仅当k二.向量的正交性角欧氏空间中向量间的夹,间的夹角与两个非零向量中欧氏空间nE],0[,,||||||||),(rccosa,。例,,)1,5,1,3(,)3,2,2,1(。求设解,233221),(||||2222,61513),(||||2222,1813521231),(因为62318arccos||||||||),(arccos,故422arccos。件两个向量正交的充要条两个向量正交的定义,若中的两个非零向量为欧氏空间和设nE2,。,。记为相互正交与则称向量0||||||||),(cosarc即,则中的两个非零向量为欧氏空间和设nE,0),(规定零向量与任何向量正交。例,,,且中的两个向量是欧氏空间设nE||||||||||||:222。证明证,||||),(,2故有因为V),(||||2,),(),(2),(,,0),(,,从而所以又||||||||||||222。例,,,且中的两个向量是欧氏空间设nE||||||||||||:222。证明证,||||),(,2故有因为V),(||||2,),(),(2),(,,0),(,,从而所以又||||||||||||222。几何意义3中在R||||||||||||222勾股定理,。中在nR例非零向量中两两相互正交的一组欧氏空间nE证,,,21k的一个正交向量组。称为V:组是线性无关的。欧氏空间中的正交向量证明,,,,21则有是线性相关的如果正交向量组k,02211kk,,,,21不全为零。常数其中k,),,2,1(作内积如下任取向量kii)0,(),(2211。ikki)0,(),(2211ikki,1),(,0),(,故得而时由于iijiji,),(),(2211iiiikki,0)0,(从而又i),,2,1(,0。kii:,,,21说明了不全为零矛盾。该矛盾这与k组是线性无关的。欧氏空间中的正交向量,的维数。个数不大于所在空间正交向量组所含向量的显然V向量组欧氏空间中的标准正交,,,,21中的一组正交向量组是欧氏空间设nmE,,,,21则称该向量中的每个向量均为单位如果m,简称为标准正交组。向量组正交向量组为标准正交.的正交基维向量空间三nVn的正交基维向量空间nVn,,,,21的一组基是向量空间设向量组nnV,,,,21则称它们为向量空是两两正交的如果n的一组正交基。间nV,,,21中的每个向量均为单位如果正交基n)(,。或称为规范基交基则称该正交基为标准正向量维向量的集合。是一些或全部nVn基最大无关组由向量构成的矩阵的秩。描述标准正交基的问题我们将引进正交矩阵来正交矩阵重要啊！满足阶方阵若An,EAAT为正交矩阵。则称A,||||||||2AAAAATT,1||E1||。故A正交矩阵必满秩。:下列条件等价由正交矩阵的定义可知.41也是正交矩阵。A;.1为正交矩阵A;.2EAAT;.31AAT例证,:均为正交矩阵和阶方阵若证明BAn阶正交矩阵。也是则nAB,,,所以因为EBBEAATTBAABABABABABTTTTT)()(,EBBEBBTT:阶正交矩阵。也是由定义可知nAB件判别正交矩阵的充要条:是为正交矩阵的充要条件阶方阵An,1素的平方和等于的任意一行（列）各元A对元素与另一行（列）的而任意一行（列）的各。应元素的乘积之和为零,21212222111211则记nnnnnnnaaaaaaaaaA),(jiA为正交矩阵,,1,,0jiji,,2,1,。nji,][21212222111211则记nnnnnnnaaaaaaaaaA),(jiA为正交矩阵,,1,,0jiji,,2,1,。nji行列请翻开书,看P131倒数第4行的定理2及其证明。充要条件的证明.正交化方法四,中维向量空间在nVn,不一定是正交向量组一个线性无关的向量组化为法将线性无关的向量组但总可以找到适当的方方法。这样的方法称为正交化正交向量组。)(正交法施密特Schmidt,,,21量组。中的一组线性无关的向是空间设nmV.111。令)(,0),(.2122212。则取若,)(,0),(12212为待定的系数则取若),(),(0,11212由于是),(),(),(),(11121112,),(),(1112解得)(),(),(1211111222。正交与向量则向量mm,,,,,,,,321321)(正交法施密特Schmidt),(,0),(,0),(.32313332313。则取若,0),(,0),(2313则取若,221133),(),(0,12211313由于是),(),(),(12211113),(),(11113),(),(11131。解得),(),(022211323又由),(),(),(22221123,),(),(22232解得),(),(),(),(222231111333则向量,21。两两正交与向量mm,,,,,,,,,,43214321。如此逐步进行下去)(,个两两正交的向量若求出了一般地mkk,,,,,,,,,,,,,121121mkkmkk,221111kkkk则取),(),(),(0,1111iikik由于是),(),(),(11ikkiiiiii,),(),(1iiiik),,2,1(,),(),(1kiiiiki解得,,),(),(11111两两正交。与于是kikiiiikkk:,止直到得到正交向量组为行下去按照这样的方法一直进,,,,,,2121。mm向量。中的向量不一定是单位这样得到的正交向量组,化处理。只需对每个向量作单位组要想得到标准正交向量线性无关的向量组正交向量组标准正交向量组正交化处理单位化处理流程图向量组正交化、标准化空间的基nV中正交基nV的标准正交基nV正交化处理单位化处理流程图的基的正交化、标准化空间nV例解)1,0,0,1(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321。:正交组将下列向量组化为标准,)0,0,1,1(:11则令先作正交化处理),(),(1111222)0,1,21,21()0,0,1,1(21)0,1,0,1(。),(),(),(),(222231111333－,)0,1,21,21)(31()0,0,1,1(21)1,0,0,1()1,31,31,31(。。进行单位化处理,)3,2,1(||||得到所求标准正交组令iiii,)00,,21,21(1,)0,32,61,61(2)23,321,321,321(3。,,321,,321)1,31,31,31(),0,1,21,21(),0,0,1,1(321再将第五节线性变换一、线性变换的定义请点击二、线性变换的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵四、线性变换的特征值与特征向量一、线性变换的定义定义1(1)对任意,V,