利用正、余弦定理判定三角形形状

利用正、余弦定理判定三角形形状判定三角形形状在高中数学中有着重要的地位，在求解三角形、三角函数的问题时该知识点有着广泛的应用．本文对该类问题常用知识点及常用分析方法总结如下.一、三角形形状的判断依据（1）等腰三角形abAB.（2）等边三角形abcab且有一角为60.（3）直角三角形222abc90C.（4）等腰直角三角形ab且90C.（5）钝角三角形222cos02bcaAbc222abc90A.（6）锐角三角形最大边a满足222cos02bcaAbc222abc最大角90A.二、判定三角形形状基本思想方法：1.计算、化简过程中常用的数学思想：（1）化归、转化思想的应用，即利用正弦定理（或余弦定理）进行代换，将已知条件中的等式转化为都是边或都是角的等式.（2）消元思想，常用ABC，减少角的个数.2.计算、化简的方向有两个：（1）利用正、余弦定理统一成角，再通过两角和与差、倍角等三角公式进行恒等变形，得出三角形两角之间的关系.（2）利用正、余弦定理统一成边，再通过边恒等变形、分解因式等方法，得出三角形边之间的关系.三、解三角形常用知识要点1.正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形外接圆半径）.变形公式：（1）CRcBRbARasin2,sin2,sin2；（2）RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin；（3）cbaCBA::sin:sin:sin2.余弦定理：2222cosabcbcA,2222cosbacacB,2222coscababC.变形公式：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab.3.三角形面积公式：111sinsinsin222SabCacBbcA4.三角形中的常用结论：（1）()sinsin()ABCABCABC，coscos()ABC.（2）222ABCsincos22ABC，cossin22ABC.5.三解形中化简计算，常用两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式.四、典型例题1.直接利用三角形三边关系进行判断例1.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，满足::2:6:(31)abc，试判断三角形的形状.【解析】由题意，可设2ak，6bk，(31)ck，0k.则c边最大.因为22(423)ck，2228abk，所以，222cab，222cos02abcCab.则最大角C为锐角.所以ABC为锐角三角形.【点评】已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.例2.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若,,abc成等比数列，且2ca，试判断三角形的形状.【解析】因为,,abc成等比数列，所以2bac.又2ca，所以222ba，2ba.所以，c为最长边，角C为最大角.因为222cos2abcCab222420222abaaa.可得角C为钝角.所以ABC为钝角三角形.【点评】已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.例3.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且有(3)nnnabcn，试判断三角形的形状.【解析】∵(3)nnnabcn∴()()1(3)nnabncc.01bc,nbyc是减函数.∴22()()()()1(3)nnababncccc.即22()()1abcc,∴222abc.∴222cos02abcCab,∴C为锐角.∴ABC为锐角三角形.【点评】（1）已知条件均为三边之间的关系，不需要利用正弦定理或余弦定理统一成边或角，直接计算最大边所对的角的余弦值即可.（2）本题利用指数函数的单调性进行放缩是关键.2.直接利用三角恒等变形，转化为角关系进行判断例4.（05北京）在ABC中，已知2sincossin,AAC那么ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形三角形D.正三角形【解析】sinsin()CAB，2sincossin()ABABsincoscossin0ABAB，sin()0AB.在ABC中可得，0AB，即AB.所以ABC是等腰三角形.故选B.【点评】（1）本题条件均为各角之间的三角函数关系，无需利用正、余弦定理统一成边或角的等式，可直接进行三角恒等变形，从而得到角之间的关系，判断出三角形形状.（2）本题也可利用正、余弦定理均统一成边之间的关系，再恒等变形，得到两边之间的关系，从而判断出三角形形状.例5.在ABC中，已知2sinsincos2ABC，试判断此三角形的类型.【解析】由2sinsincos2ABC得，sinsinBC1cos2A所以，2sinsinBC1cos[180()]BC，即2sinsin1cos()BCBC2sinsin1(coscossinsin)BCBCBC，整理得，coscossinsin1BCBC所以，cos()1BC.在ABC中可得0BC，BC.所以，ABC是等腰三角形.【点评】(1)本题关键：看到2cos2A，可联想降次公式21coscos22AA.(2)由于已知条件都是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.3.需要先利用正（余）弦定理统一成边或角的等式，再进行三角恒等变形得出角的关系或边的关系，进行判断例6.在ABC中，若22(coscos)()cosabBcCbcA，试判断三角形的形状.【解析】方法一：均统一成角.2sinsinsinabcRABC2sinaRA，2sinbRB，2sincRC，代入已知，得2sin(2sincos2sincos)RARBBRCC22[(2sin)(2sin)]cos,RBRCA即22sin(2sincos2sincos)RABBCC2222cos(2sin2sin)RABC，sin(sin2sin2)ABCcos[(1cos2)(1cos2)]ABC，sinsin2sinsin2ABACcoscos2coscos2ACAB，coscos2sinsin2ABABcoscos2sinsin2ACAC.所以cos(2)cos(2)ABAC.在ABC中，可得22ABAC或2(2)ABAC所以，BC或ABC所以，ABC为等腰三角形或直角三角形.【点评】已知等式是关于边的二次齐次式，可利用正弦定理变式2sinaRA，2sinbRB，2sincRC，将等式统一成角的三角函数等式，再化简.方法二：均统一成边.由余弦定理得，222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab.代入已知，得：222222()22acbabcabcacab22222()2bcabcbc.整理，得：,0)]()[(22222cbacbbc或222abc.所以，ABC为等腰三角形或直角三角形.【点评】（1）已知等式中有余弦，可用余弦定理代换，将等式统一成边的等式，再化简.（2）变形过程中，等式两边不能随意同除以某式子，常进行因式分解，否则易丢解出错.例7.在ABC中，已知BABACcoscossinsinsin，试判定ΔABC的形状.【解析】方法一：均统一成边由已知得，sinsincoscossinABABC，所以，bcacb22222222acbacabc，即2323220acabcbabab，可得222()()0abcab.因为0ab，所以222cab.所以，ABC为直角三角形.方法二：均统一成角.已知等式可化为：sinsinsin()coscosABABAB2cos2sin2BABA2cos2cos22cos2sin2BABABABA又在ABC中，02BA所以，22cos102AB，即cos()0AB.可得，2AB.所以，ABC为直角三角形.【点评】（1）本题等式两边均为正弦的齐次式，可利用正、余弦定理代换，统一成边的等式，再变形.（2）本题等式两边均为角，也可直接进行三角恒等变形，关键是sinsinAB与coscosAB的变形方法，有两种：一是和差化积公式应用；也可令22ABABA，22ABABB，再利用两角和与差的正、余弦公式化简.（3）sinsin()CAB体现了消元思想的应用.【小结】判断三角形形状问题解题规律：1.角化边：应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状.2.边化角：应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状.巩固练习：1.在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状.2.在ABC中，如果lglglgsinlg2acB，且角B为锐角，判断此三角形的形状.3.在ABC中，若22tan:tan:,ABab试判断ABC的形状.巩固练习答案：1.【解析】方法一：均统一成角.22[sin()sin()][sin()sin()]aABABbABAB，222cossin2cossinaABbBA.由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBA，sinsin(sincossincos)0ABAABB，sin2sin2AB.在ABC中，可得02,22AB，所以，22AB或22AB.即AB或2AB.即ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二：均统一成边.同上可得222cossin2cossinaABbBA，由正、余弦定理得：2222222222bcaacbabbabcac，22222222()()abcabacb，即22222()()0abcab.所以ab或222cab.即ABC为等腰三角形或直角三角形.2.【解析】由lglglgsinlg2acB，得lgsinlg2B2lg2，2sin2B，又B是锐角，45B.又lglgaclg2，即2lglg2ac，22ac.由正弦定理，得：sin2sin2AC，2sin2sinCA.,180ABC180ACB18045C135C，2sin2sin(135)CC，sinsincos,CCCcos0C，90C.故此三角形是等腰直角三角形.3.【解析】方法一：均统一成角.由已知条件及正弦定理可得22sincossincossinsinABAABB，,AB为三角形的内角，sin0,sin0AB，sin2sin2,22ABAB或22AB，AB或2AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形。方法二：均统一成边.由已知条件及正弦定理可得sincossincosAABB22sinsinAB，即cossincossinBAAB，由正弦定理和余弦定理可得22222222acbaacbcabbc，整理，得4222240aacbcb，即22222()()0ababc，22ab或2220abc，ab或222abc.所以，ABC为等腰三角形或直角三角形.作者：郑祖宏地址：黑龙江省虎林市