高等机构学 01 螺旋理论基础

《高等机构学》YSU燕山大学机械工程学院螺旋理论基础基于螺旋理论的自由度分析原理空间机构的位置分析运动影响系数原理空间机构动力学基于约束螺旋理论的并联机构型综合空间机构的奇异分析本门课程的主要学习内容空间直线的螺旋表示螺旋表示运动和作用力螺旋的相关性螺旋的相逆性螺旋理论基础直线的矢量方程)();(22221111zyxzyxrr121212()()()xxyyzzLMNSijkijk两个点：222NMLS两点之间的距离或直线段的长度为1()0rrS0rSS假设：lLmMnNSSS，，L、M、N是有向线段S的方向数，而l、m、n是S的方向余弦，且满足1222nml则直线方程可写为：或S0称为矢量S对原点的线矩01rSS直线的矢量方程可写为行列式的形式01rSSNMLzyx1110kjiS展开，有kjiSRQP011PyNzMNxLzQ11LyMxR11其中P、Q、R为直线的矢量方程①若S是单位矢量,，则线矩S0的模表示直线到原点的距离；②若矢量S过原点，其线矩为零：③当S及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的；④矢量S与其对原点之线矩S0是互为正交的：1SS00S00SS直线的矢量方程可知：决定直线的矢量方程中的两个参数S及S0是齐次坐标，标量λ构成的λS及λS0依然满足直线方程表示是同一条直线。0rSS这种满足正交条件的齐次坐标(S;S0)表示了直线在空间的位置及方向，(S;S0)称为直线的Plücker坐标。直线的Plücker坐标直线的Plücker坐标(S;S0)中的两个矢量S和S0都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样Plücker坐标的标量形式即为(L,M,N;P,Q,R)，L、M、N是有向线段S的方向数，P、Q、R是该线段S对原点的线矩在X、Y、Z三轴的分量。这六个量L、M、N、P、Q、R之间存在关系式000LPMQNRSS（）所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有∞5条不同方向、位置和长度的有向线段。直线的Plücker坐标两个矢量S和S0决定了一条直线在空间的方向和位置（对偶矢量）空间的一条直线与一组对偶矢量(S;S0)有着一一对应的关系为过原点的直线，方向为为一条不过原点平行X轴的空间直线且这是一条不过原点，方向为的直线)(nml0nrmqlp)(nml直线的Plücker坐标;lmnpqr;000lmn00;0lab直线的Plücker坐标直线到原点的距离若有过原点的矢量P垂直相交于直线(S;S0)，则矢量OP的模|P|是从原点O到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上，即有0SSP将此等式两边左面叉乘S0)(SSSPS展开左边矢量的三重叉积，有PSSSPSPSSSPS)()()()(即0()SSPSS直线到原点的距离解出P这里e是单位矢量，其方向由决定，这样直线S到原点的距离为SSSSP0因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为eSSeSSSSP00||||||||0SSSSP0直线到原点的距离当S0=0，则，直线到原点的距离为零，即直线过原点，此时直线的Plücker坐标可写为可知：0P;0)(S000;nml或反之，若S=0，而为有限值，则，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plücker坐标为(0;S0)。此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为S0。S0与原点位置选择无关，这说明(0;S0)为自由矢量。0SP两直线的互矩设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交若它们的公垂线矢量为，其中为单位矢量，而其系数是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足11012202rSSrSS1212aa11212aa12a12a12两直线的互矩直线S2对S1线上垂足A点的线矩与直线S1的点积，称为直线S2关于S1的矩121212SSaa同样，直线S1对直线S2上垂足B点的线矩与直线S2的点积，称为直线S1关于S2的矩212112SSaa显然此两点积是相等的212112121212SSaSSaaa两直线的互矩两直线的互矩(mutualmoment)，记以Mm可以看出：两直线的互矩是由两直线Plücker坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和121212mSSaMa展开此式并考虑到121212rraa得到互矩的一般表达式为012021mSSSSM两直线的互矩当S1和S2都是单位矢量时其中S1与S2间的扭向角的值是以为正向，按右手螺旋方向度量互矩Mm还可写为12211SSSS121212sinaSS则1212am121221121212121212(sin)sinaaaMaSSaa两直线的互矩若两直线的S及S0均以标量表示互矩还可以写成代数式111101111222202222(,,),(,,)(,,),(,,)LMNPQRLMNPQRSSSSm102201121212121212LPMQNRPLQMRNMSSSS互矩的几种表达形式m1212sinaM121212mSSaMa两直线的互矩互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。如果两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处，则它们的互矩为零。如果两直线相交，其垂直距离就等于零，它们的互矩也为零所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线共面，则两直线的互矩为零。由互矩表达式可以看出：m1212sinaM01212a1022010SSSS线矢量和螺旋线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢量定义为线矢量，简称线矢，也记以(S;S0)。在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申在表示线矢量的对偶矢量(S;S0)中S是单位矢量，而S0一般不是单位矢量这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量S和其上一点矢径r来决定。这里矢径r反映在“线矩”S0中，即，显然S与S0为正交，0SrS00SS线矢量和螺旋线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。矢量S表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S0则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点移至A点，而矢量S对点A之线矩SA则转变为0AABB0BSrSSrABrSABSSABS线矢量和螺旋螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量在数学上定义为螺旋，（也称旋量）。记为$当对偶矢量(S;S0)中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况00,0;$SSSS在表示螺旋的对偶矢量(S;S0)中S是单位矢量，而S0一般不是单位矢量这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将的螺旋的对偶部矢量以S0标记，以表示与线矢量的区别00SS线矢量和螺旋在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量S0却是与原点的位置有关。当将原点由B移至A时，螺旋变为，依然满足00ABSSABS将上式两边点乘S，得到0000ABBBSSSSABSSSSABSSS虽然S0与原点位置有关，但与原点的位置无关，是原点不变量。0SS0;ASS0;ASS线矢量和螺旋螺旋的节距pitch（原点不变量）如果某旋量的原级矢量S为单位矢量，，这是单位旋量，此时0222lpmqnrhlmnSSSS1SS0hSS线矢量和螺旋线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，在空间也对应有一条确定的轴线00(;)0SSSS将S0分解为垂直和平行于S的两个分量，hS和S0-hS)()(00SSSSSShh;;线矢量和螺旋其中S0–hS是垂直于S的，这是因为因此螺旋的轴线方程即是000()0hSSSSSSSSSSS由此00hSSS0hrSSS线矢量和螺旋影响螺旋的四个因素：（1）螺旋轴线的位置（2）螺旋的节距（3）螺旋的方向（4）螺旋的大小如果是单位螺旋，则只包含前三个因素螺旋可以写为00(;)(;)(;)hhhSSSSSSSrSS线矢量和螺旋对于螺旋，当节距h变化时(;)hSrSS螺旋线矢量偶量零螺旋0(;)SS0000hSSS，，00=0=0hSSS，，0(;)SS(0;)S0=hS，0=0=0hSS，，不定(;)SrS(;)=(;)=(0;)hhhSrSSrSSSS若h=0，螺旋变为若h=∞，线矢量和螺旋例：表示什么样的螺旋？0(;);lmnalaman$SS0222222alamanhalmnSSSS螺旋大小螺旋方向lmnS222lmnS螺旋节距螺旋轴线00hrSSS表示节距为a，轴线过原点的螺旋线矢量和螺旋例：表示什么样的螺旋？0(;)100;100$SS01hSSSS螺旋大小螺旋方向100S1S螺旋节距螺旋轴线00hrSSS表示节距为1，轴线过原点的单位螺旋线矢量和螺旋例：表示什么样的螺旋？0(;)111;111/3$SS01hSSSS螺旋大小螺旋方向111S1S螺旋节距螺旋轴线00hrSSS这也是一个轴线过原点沿方向节距为1的单位螺旋111线矢量和螺旋例：表示什么样的螺旋？0(;)110;100$SS012hSSSS螺旋大小螺旋方向110S2221102S螺旋节距螺旋轴线T012120hrSSS表示节距为1/2，不过原点的非单位螺旋螺旋的代数运算螺旋可以用一对对偶矢量来表示0(;)$SS其中被称为对偶标识符，且有)(0SS0320011111(;)$SSSS0022222(;)$SSSS螺旋的对偶矢量表示螺旋的代数运算两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的代数和。)(0201121SSSS$$2)(两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，螺旋的代数和螺旋的代数运算若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线矢量。对于线矢量(S1;S01)和(S2;S02)，由于原部和对偶部矢量满足正交性，有0011SS0022SS又已知两直线共面，则其互矩为零0120201SSSS则两线矢之和满足0)()(020121SSSS证明：证毕螺旋的代数运算对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点由于共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为若以r1表示两线矢交点的矢径。r1应分别在两线矢上，即同时满足两线矢方程将两式相加有证明：020121)(SSSSr11011202,rSSrSS0201211)(SSSSr此式表明两线矢的交点满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点。证毕螺旋的代数运算两螺旋的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和称为两螺旋的互易积互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若$1及$2是两线矢量，则可以看出，两线矢的互易积就是两直线的互矩。两线矢共面的充要条件就是其互易积为零01202121SSSS$$01202121SSSS$$螺旋的互易积螺旋的代数运算两个螺旋，它们的互易积与原点的选择无关这两个新的螺旋的互易积为00111222(;),(;)$SS$SS当原点从点O移动