第九章梁的弯曲(2)应力

§9-2梁的弯曲内力——剪力和弯矩§9-3用内力方程法绘制剪力图和弯矩图§9-4用微分关系法绘制剪力图和弯矩图§9-5用叠加法画弯矩图§9-6梁弯曲时的应力及强度计算§9-7梁的变形§9-8梁的应力状态第九章梁的弯曲§9-1平面弯曲一、梁横截面上的正应力三、梁的强度条件四、提高弯曲强度的一些措施(了解)§9-6梁弯曲时的应力及强度计算二、梁横截面上的剪（切）应力MVMVM§9-6梁弯曲时的应力及强度计算V梁弯曲时横截面上的应力——弯曲正应力——弯曲剪（切）应力剪（切）应力正应力梁的内力：梁的应力：Fa(+)M图Fa横力弯曲——梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（）。0,0MVFFFV图(+)(-)F纯弯曲——梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。0,0MV纯弯曲横力弯曲横力弯曲一、梁横截面上的正应力FFlaaABDC实验现象1122cabd1122cabdMMabcd1212MM假设①平截面假设②单向受力假设一、梁横截面上的正应力（1）平截面假设各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明横截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。（2）单向受力假设将梁看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。上边缩短下边伸长长度保持不变的纵向纤维中性轴：中性层与横截面的交线。中性层：既不伸长也不缩短的一层纤维层。1．正应力分布规律结论:纯弯曲梁段横截面上只有正应力无剪应力MM梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化1．正应力分布规律zMyI2．正应力计算公式距中性层为y处的正应力:minMmax中性轴通过截面形心梁的上下边缘处，有最大弯曲正应力，值为：zyxMmaxmaxzzMM||(I/y)WzzmaxIWyWz—抗弯截面模量minMmaxM3.横截面上最大正应力maxmaxzMyImaxzMI/yzWM1.矩形截面321226zzzbhIIbhWh/4.典型截面对中性轴的惯性矩和抗弯截面模量2.实心圆截面4464264zzzdIIdWd/3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:44341641232zzzDI()IDW()D/aazbhzddzD)(Ddaz5.横截面上正应力的画法①线弹性范围—正应力小于比例极限p；②精确适用于纯弯曲梁；()1()()zzMxyMxIxEI，6.公式适用范围1zMEI③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比l/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。minMmaxminMmaxzMyIzEI——抗弯刚度。注意：（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。注意：V1．剪(切)应力分布规律假设（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。*A（1）各点处的剪(切)应力都与剪力V方向一致；二、梁横截面上的剪(切)应力（3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。V1．剪(切)应力分布规律假设*zzVSIbbhzycyc*A2．矩形截面梁的剪（切）应力计算公式矩形截面梁横截面上的最大剪（切）应力max3152VV.bhAmaxyz3．工字形截面梁的剪应力*zzVSId对于工字钢，*maxzzIS可由型钢表中查得。翼缘dmaxmaxmaxmaxmax*z*zzzVSVId(IS)dzy腹板bymaxV3．工字形截面梁的剪应力1、弯曲正应力强度条件：maxmax[]zMW可解决工程中有关强度方面的三类问题：（1）强度校核，即已知检验梁是否安全；,],[,maxzWM（2）设计截面，即已知可由确定截面的尺寸；],[,maxM][maxMWz（3）求许可载荷，即已知可由确定。],[,ZW][maxzWM三、梁的强度条件maxmaxmaxz[]*zVSIb与正应力强度条件相似，也可以进行有关强度方面的三类计算：1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载但通常用于校核。特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。2.弯曲剪（切）应力强度条件：2.剪（切）应力强度条件：在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪（切）应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪（切）应力强度条件进行校核。三、梁的强度条件1、弯曲正应力强度条件：maxmax[]zMWmaxmaxmaxz[]*zVSIb（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。例如:lABF0.9lABFF0.2l0.2l0.6lFV图F+-V图0.9F0.1F+-M图0.09Fl-M图0.2Fl+【例9-23】如图所示，一悬臂梁长l=1.5m，自由端受集中力F=32kN作用，梁由№22a工字钢制成，自重按q=0.33kN/m计算，。试校核梁的正应力强度。[]160MPa3cm309zW【解】１．求最大弯矩的绝对值2．查型钢表，№22a工字钢的抗弯截面系数为：3．校核正应力强度满足正应力强度条件2max221321503315484kNm2qlMFl....6maxmax348410157MPa30910zM.WFqlABM图(kN·m)34【例9-24】一热轧普通工字钢截面简支梁，如图所示，已知：l=6m，F1=15kN，F2=21kN，钢材的许用应力，试选择工字钢的型号。[]170MPa1)求支反力17kN()19kN()ABRR【解】1．画弯矩图，确定ＭmaxABF1l/3l/3l/3F2RARB33361cm5.223mm105.2231701038][maxMWz由附录查型钢表得№20a工字钢的Ｗz=237cm3，略大于所需的Wz1=237cm3，故采用№20a号工字钢。2．计算工字钢梁所需的抗弯截面系数为2)绘Ｍ图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为1)求支反力17kN()19kN()ABRRＭmax＝38kN·m3．选择工字钢型号【解】1．画弯矩图，确定Ｍmax【例9-24】【例9-25】如图所示，№40a号工字钢简支梁，跨度l=8m，跨中点受集中力F作用。已知][][F＝140MPa，考虑自重，求许用荷载【解】1．求最大弯矩工字钢每米长自重q＝67.6kgf/m≈676N抗弯截面系数Wz＝1090cm3mN)25408(8418676814822maxFFFlqlM2．由型钢表查有关数据AB4m4mF][][zmaxWM631014010109025408FkN73.6N73600][F3．按强度条件求许用荷载解得根据强度条件【解】1．求最大弯矩工字钢每米长自重q＝67.6kgf/m≈676N抗弯截面系数Wz＝1090cm3mN)25408(8418676814822maxFFFlqlM2．由型钢表查有关数据【例9-25】【例9-26】一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为№22a，梁上荷载如图a所示。已知l＝6m，F＝30kN，q＝6kN/m，，，][＝170MPa检查此梁是否安全。100][MPa【解】1．绘剪力图、弯矩图，确定最大内力。Mmax＝39kN·mVmax＝17kN·m1)求支反力29kN()13kN()BDRR2)绘M、V图BD2m3m3mF=30kNACq=6kN/mRBRD121713V图(kN)1713+--39M图(kN.m)12+-cm9.18*maxSzIMPa170][MPa12610309103936maxmaxzWM2．由型钢表查得有关数据梁是安全的。3．校核正应力强度及切应力强度b＝0.75cmWz＝309cm3【例9-26】Mmax＝39kN·mVmax＝17kN·m【解】1．绘剪力图、弯矩图，确定最大内力maxmaxmaxz*zVSId317101891075..12MPa[]=100MPa对于T字形截面，,max2max1yy则,max11yIWzz1maxmaxzWMmaxmaxz2M,W对于低碳钢等材料，],[][因此只需计算][1maxmaxzWM对于铸铁材料，],[][因此需计算][1maxmaxzWM],[2maxmaxzWMzmax2ymax1ymax22yIWzz4.T字形截面梁的应力(了解)200mm30200mmyczzcyD)(maxD)(maxzA)(maxA)(maxzAB2m1m3mP=20kNCDq=10kN/m10M图(kN.m)20+-30kN()10kN()ADRRRARB例:四、提高弯曲强度的一些措施(了解)弯曲正应力强度条件：][maxmaxzWM在[]一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（1）矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。1、根据应力分布的规律选择：z截面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。（一）、选择合理截面（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。1、根据应力分布的规律选择：2、根据材料特性选择:ycz1y2y使最大拉、压应力同时达到许用应力值。塑性材料：],[][宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：],[][宜采用中性轴为非对称轴的截面，+maxz-maxhbzM-max+max（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低值。maxM1、载荷尽量靠近支座：M图0.25Fl+M图0.16Fl+lABF0.8llABF0.5lM图+M图0.09FllABFFlAB0.9l1、载荷尽量靠近支座：2、将集中力分解为分力或均布力。M图0.125Fl(+)M图0.25Fl+lABF0.5l0.25lABF0.5l0.25l0.25l3、合理安排支座位置及增加支座——减小跨度，减小。maxMM图0.125Fl+ABF0.6l0.2l0.2lABFl0.025Fl0.02Fl0.02FlM图--+F0.5l0.5lABM图132Fl9512Fl9512Fl++增加支座3、合理安排支座位置及增加支座——减小跨度，减小。maxM（三）、合理设计梁的外形（选用等强度梁）设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁——横截面沿着梁轴线变化的梁。][)()(maxxWxMz][)()(xMxWzFmm400BB