第3章逻辑代数 tang

第3章逻辑代数3.1逻辑代数的基本定律3.2逻辑运算的基本规则3.3逻辑函数的代数法化简3.4逻辑函数的卡诺图化简3.5具有无关项的逻辑函数化简3.1逻辑代数的基本定律表3.1.1基本、复合逻辑运算和逻辑运算顺序ABYBAYAY1与：2或：3非：BA,1.单个逻辑变量的非运算“-”，如2.逻辑与“·”；3.异或“⊕”、同或“⊙”；4.逻辑或“+”。基本逻辑运算常用复合逻辑运算运算顺序1.与非：2.或非：3.异或：4.同或：Y=A⊙B5.与或非BAYBAYCDABYABY；6.使用括号“（）”可改变运算顺序。CDAB5.表达式的非运算“-”，如与或非中的表达式AB+CD。3.1.1逻辑代数定理•逻辑表达式：逻辑常量及逻辑变量之间的逻辑运算式称为逻辑表达式。如果2个逻辑表达式恒等，则构成逻辑恒等式。逻辑代数的基本定理常用恒等式表达。表3.1.2逻辑代数基本定理1001BAABBABAAA53序号名称恒等式01自等律A+0=AA·1=A20-1律A+1=1A·0=0重叠律A+A=AA·A=A4互补律1AA0AA吸收律A+AB=AA(A+B)=A6交换律A+B=B+AAB=BA7结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)8分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)9反演律10非非律P10证明方法：枚举法----按基本逻辑运算（与、或、非）的定义列出真值表进行逻辑运算。BAAB例3.1证明反演律（亦称为摩根定理）。BAAB解：将变量的各种取值组合分别代入等式的左边和右边进行计算，列出真值表如表3.1.3。由表可知：。ABBABAAB表3.1.3证明AB00011011111011103.1.4常用恒等式BABAAABBAA)(ABAABABABA))((CAABBCCAAB))(())()((CABACBCABACAABBCDCAAB))(())()((CABADCBCABA序号名称恒等式1吸收式1A+AB=AA（A+B）=A吸收式223合并式4配项式1配项式256AABAABAA7BAABABABAA证明常用恒等式的方法：用基本定理导出或枚举法AABBABAAB1)(BCAACAABBCCAAB)(证明：例3.3证明配项式：。证明：CAABBCCAAB例3.2证明合并式：。ABAAB)1()1(BCACABCAABBCAABCCAAB))((BAAABAA证明：例3.2-1证明吸收式：。BABAABABA)(1注意1：由于逻辑代数中没有逻辑减法及逻辑除法，故初等代数中的移项规则（移加作减，移乘作除）这里不适用。注意2:定理和恒等式反映的是逻辑关系,不是数量之间的关系。3.2逻辑运算的基本规则3.2.1代入规则1.规则：在任何一个逻辑等式中，用一个逻辑函数代替等式两边的某一逻辑变量后，新的等式仍然成立，这个规则称为代入规则。BAAB例3.4在中，用BC代替等式两边的B，求新等式。2.作用：将逻辑代数的基本定理（表3.1.2）和常用恒等式（表3.1.4）推广到多变量的情况。CBABCAABC右边左边解：CBAABC得P7P53.2.2反演规则1.规则：在任何一个逻辑函数Y中，同时进行下述3种变换（称为反演变换）后产生的新函数就是原函数Y的反函数：注意：不属于单个变量上的反号应该保留，并保持原表达式中变量间的运算顺序[添加括号（）]。2.作用：求反函数。AAY)01(解：))((DCBBAY解：例3.5已知，求)(DCBABY?Y例3.6已知Y=A+0·1，求。Y(1)所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”；(3)所有的原变量换成反变量，反变量换成原变量。(2)所有的“0”换成“1”，“1”换成“0”；3.2.3对偶规则注意：必须保持原表达式中变量间的运算顺序。1.规则：在一个逻辑表达式Y中，同时进行下述变换后产生的新表达式称为原式Y的对偶式Y’，这种变换称为对偶变换：（1）所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”；（2）所有的“0”换成“1”，“1”换成“0”,0BAAL例如，表3.1.2和表3.1.4同一行的等式，互为对偶式。1)(BAAL2.作用：使要证明和要记忆的公式减少了一半。P73.3逻辑函数的代数法化简与或式：乘积项之和BCBAY3.3.1最简的标准1.逻辑函数的5种表达式和相互转换21),,(非最简与或式非最简与或式最简与或式BCAABCBAABBCACBAY例如：同一种类型的表达式中，形式有不同，但最简的形式是唯一的。例如在与或表达式中与或非式CBBA或与式：和项之积))((CBBA与非与非式BCBA或非或非式CBBA（1）乘积项的个数最少；2.最简与或表达式的标准：（2）在满足（1）的条件下，每个乘积项中变量的个数最少。代数法化简，亦称为公式法化简，就是用逻辑代数的定理和恒等式，对逻辑函数进行化简，求最简与或表达式。3.3.2代数法化简CDBCDAABAACDABAACDBAY)()(1.并项法利用，将两项合并为一项，并消去一个变量。例如：1AA2.吸收法BADCBABAY)(利用A+AB=A,消去AB项。例如：CBACCBBAACCBBAACYDEABCABCDEABCY3.消项法CAABBCCAAB利用，消去BC项。例如：4.消因法BABAAA利用，消去因子。例如：•如果两项分别包含A和，而其余的因子相乘为第3项，则第3项是多余的。A)(BACBAC•如果一项的反是另一项的因子，则此因子是多余的。5.配项法ABCBCACBAYCBAACBCCBABACBCBBABAY)()(1AAAAA利用，，等公式，在原式中增加项，然后再化简。1AA（1）利用，配项化简代数法化简逻辑函数时，必须综合使用上述技巧、逻辑代数定理和恒等式，才能有效地化简逻辑函数。)()1()1(BBCACBACBACBACBACBCBABCABACACBBAAAA（2）利用，配项化简)()(ABCBCABCACBABCBABCBA3.4逻辑函数的卡诺图化简3.4.1逻辑函数标准表达式化简的理论基础：标准表达式、最小项和最大项1.标准与或式每个乘积项都包含函数的全部变量的特殊与或式称为标准与或表达式。BCACBAY),,(BCACBACBACABABC一般与或式BCAACCBBA)())((标准与或式最小项：标准与或式中每一个乘积项都包含函数Y的全部变量，每个变量以原变量或反变量因子仅出现一次。最小项代数法可以化简任意的逻辑函数，但是否达到最简却较难判断。卡诺图法可以直观、简便地得到最简逻辑表达式标准式：标准与或式，标准或与式。把原变量用1替代，反变量用0替代，按一定的变量排列顺序构成的二进制数就是最小项的编号，通常转换为十进制数。最小项的编号方法：n个变量的逻辑函数有2n个最小项。常用mi或m(i)表示，i是最小项的编号。CBA（101)2=(5)10，记作m5或m(5)。ABCCABCBACBABCACBACBACBA,,,,,,,如3变量的最小项2n＝23＝8CBAm0CBAm2CABm6ABCm7表3.4.1Y(A,B,C)=A+BC三变量全部最小项的真值表ABCY=A+BC000100000000001010000000010001000000011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011CBAm5CBAm4BCAm3CBAm1下P26P22最小项的性质：①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1，其它组取值使其为0。为1的取值组合是最小项的编号。12,,2,1,0,,0njijimm②不同的两个最小项之积恒为0，即③全部最小项之和恒为1，即1120iimn逻辑相邻:仅有一个变量不同的2个最小项称为逻辑相邻最小项，简称相邻项。例如，3变量最小项ABC的相邻项是、和。BCACBACAB两相邻最小项之和等于它们的相同变量之积。ABCABABCACCBAABC④n个变量的最小项有n个相邻项，且两相邻最小项之和等于它们的相同变量之积。最小项一般表达式：3变量表达式：(由表3.4.1的最后一列得）120765432103)(11111000),,(iiimmYmmmmmmmmBCACBAYn变量表达式：使mi=1的变量取值组合对应的函数值iiimmYCBAYn120)(),,,(最小项反函数表达式：iiimmYCBAYn120)(),,,(即任意反函数的标准与或式是函数值为0所对应的最小项之和。（3.4.3）P192.标准或与式一般地，n个变量的逻辑函数有2n个最大项。例如，3变量的逻辑函数有23个最大项，——每个和项都包含函数的全部变量（以原或反变量出现）的或与式称为标准或与表达式。2))((1))((),,(或与式或与式与或式CBBACCBACABABCACBAY这种包含函数的全部变量的和项叫做最大项，常用Mi或M(i)表示，i是最大项的编号。)(),(),(),()(),(),(),(CBACBACBACBACBACBACBACBA标准或与式))()((),,(CBACBACBACBAY最大项的编号方法：原变量用0替换，反变量用1替换，按一定变量排列顺序构成的2进制数就是最大项的编号，通常转换为十进制数。例如:(101)2=(5)10，记作M5或M(5)。相同编号的最大项和最小项互补，即12,2,1,0niiimM最大项的性质：①对于任意一个最大项，只有变量的一组取值使其为0，其他组取值使其为1。②不同的两个最大项之和为1，即使最大项为1、0的取值组合的二进制数值是最大项的编号。12,,2,1,0,,10njijijiMMmm③全部最大项之积恒为0，即仅有一个变量不同的2个最大项称为最大项，简称相邻项。01120120nniiiiMmBACBACBA))((④n个变量的最大项有n个相邻项，且两相邻最大项之积等于它们的相同变量之和。两相邻最大项之积等于它们的相同变量之和。例如，CBACBACBA例如，3变量最大项A+B+C的相邻项是、和。例如：BACBACBA))((逻辑相邻：最大项一般表达式：))(()(),,,(),,,(120120iiiiiimmYmmYCBAYCBAYnn))((),,,(120iiiMmYCBAYn即任意逻辑函数的标准或与式是函数值为0所对应的最大项之积。例如，在表3.4.1中的最后一列，))()((),,(210CBACBACBAMMMBCACBAY。与式（3.4.4）相同P19iiimmYCBAYn120)(),,,(3．实际问题的逻辑函数表3.4.2楼梯间照明电路真值表ABY001010100111所以，最小项表达式220V50Hz12ABY图3.4.1楼梯间照明电路12解：（1）列真值表设灯亮Y=1，灯灭Y=0；A或B=1表示拨向1位；A或B=0表示2位。ABBABABAmmYBAYiii1001)(),(1202BAABY=1对应的最小项是、；Y=0对应的最小项是、。BABA)3,0(mABBA（2）写最小项表达式例3.7一楼梯间