第7章热传导

第七章1.试由傅立叶定律出发，导出单层平壁中进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知x=0，t=t1；x=b，t=t2。解：傅立叶定律为/dtqAkdx稳态导热时Aq=常数，故1/dtqAdxk即1qtxCkA（1）边界条件为0x,1ttxl,2tt分别代入式（1）得：1Ct，12ttqkAl∴121tttxtl211ttxtl2.试由傅立叶定律出发，导出单层筒壁中沿r方向进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知r=r1，t=t1；r=r2，t=t2；圆筒长度为L。解：傅立叶定律为/dtqAkdr稳态导热时导热速率为常量，即constdtqkAdr或2dtkrLqdr2qdrdtkLr积分之，得ln2qtrCkL（1）边界条件为1rr,1tt2rr,2tt将边界条件代入式（1），并联立求解，得：21122lnttqrkLr，211112lnlnttCtrrr∴2121lnlntttrrr+211112[ln]lntttrrr211211lnlnttrtrrr3.在一无内热源的固体热圆筒壁中进行径向稳态导热。当m11r时，2001t℃，m22r时，1002t℃，其导热系数为温度的线性函数，即0(1)kkt式中0k为基准温度下的导热系数，其值为138.00kK)W/(m，为温度系数，其值为41095.1K1，试推导出导热速率的表达式并求单位长度的导热速率。解：导热速率的表达式为rtkAq（1）对于本问题，)1(0tkk，rLA2，其中L为圆筒壁的长度。稳态热传导情况下，constq，将上述情况代入式（1），并分离变量，可得rdrLkqdtt02)1(（2）边界条件为①11r，2001t②22r，1002t积分得201ln22qttrCLk将边界条件①代入式(2)，可得211101ln22qCttrLk495)2.273200()1095.1(21)2.273200(24K于是导热速率方程为rttLkqln1)49521(220（3）将边界条件②代入式(3)，可得单位长度的导热速率为22220ln1)49521(2/rttkLq4211{23.140.138[(100273.2)1.9510(100273.2)495]}2ln23.135m/W4.有一具有均匀内热源的平板，其体积发热速率为qs)J/(m102.136，平板厚度（x方向）为0.4m。已知平板内只进行x方向上的一维稳态导热，两端面温度维持70℃，平均温度下的导热系数k=377K)W/(m，试求(1)此情况下的温度分布方程；(2)距离平板中心面m1.0处的温度值。解：(1)此情况下的温度分布方程选用直角坐标系的热传导方程为式（7-1），即kqztytxtt2222221①稳态导热，0t②一维导热，0yt，0zt，022yt，022zt于是式（7-1）变为022kqdxtd（1）取中心面为0x，则边界条件为①0.2x，701t②2.0x，701t。式（1）积分两次，可得21212qtxCxCk（2）将边界条件①、②及已知q、k数据分别代入式（2），可得10C，2133.66C于是此情况下的温度分布方程为66.13351.15912xt（2）距离平板中心面m1.0处的温度值20.11591.510.1133.66xt74.117℃5.有一自然冷却的金属圆筒形导体，其外径为100mm、壁厚为20mm。导体内有均匀内热源产生，其值为s)J/(m100137.q。已知导体内只进行一维径向导热，达稳态后，测得外表面温度恒定为100℃，平均导热系数为50K)W/(m。(1)试选用适当的一般化热传导方程，简化后导出此情况下的温度分布方程；(2)求圆筒内表面处的温度值。解：（1）选用柱坐标系的热传导方程（7-2），即kqzttrrtrrrt222221)(11①稳态导热，0t②一维径向导热，0t，0tz，22220ttz则方程变为0)(1kqdrdtrdrdr积分之，可得2124CrlnCrkqt（1）边界条件为①05.0r,100t②05.0r，drdtLrkLrrq221222)(将边界条件①、②及题设有关数据分别代入式（1）可得190C,2494.6C∴724211090ln494.651090ln494.6450trrrr(2)求圆筒内表面处的温度值420.035100.0390ln0.03494.6134rt℃6.有一具有均匀发热速率q的球形固体，其半径为R。球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度St不变。试从一般化球坐标系热传导方程出发，导出球心处的温度表达式。解：球坐标系的热传导方程为式(7-3)，即22222221111()(sin)sinsinttttqrrrrrrk①球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度st不变，故为稳态导热，0t②一维径向对称导热，0t，0t，022t，022t于是式（7-3）变为0)(122kqdrdtrdrdr（1）边界条件为①Rr，Stt②Rr，drdtkRqR23434式（1）积分两次，得2126CqtrCkr（2）将边界条件①、②分别代入式（2）可得10C，226sqCtRk于是球体内的温度分布方程为2266sqqtrtRkk（3）令式（3）中的0r，即得球心处的温度表达式，即206srqttRk7.有一半径为R的热圆球物体悬浮在大量不动的流体中，设此问题中自然对流的影响可略，有关的物性为常数。（1）试从球坐标系的能量方程出发，简化为流体在此种情况下能量方程的特殊形式，并写出简化过程的依据；（2）假定圆球表面的温度为RT，流体主体的温度为T，r为自球心算起的距离，试写出上述能量方程的边界条件；（3）由上述边界条件，求解该方程，写出温度分布表达式；（4）求/NuhRk的值。解：（1）因为忽略自然对流，故uuur,,均为零，同时传热仅沿r方向且为轴对称，故0t、0t、022t、022t，又传热为稳态，故0t，于是球坐标系的能量方程（6-32）简化为0)(122rtrrr或0)2(drdtrdrd（1）（2）边界条件为Rr，0ttr，tt（3）式(1)积分两次，可得12CtCr（2）代入边界条件，可得温度分布表达式为rRtttt0（3）（4）根据傅立叶定律，可知RttkdrdtkAqRr0由对流传热系数定义式，对于球体传热0/()qAhtt，得Rkh于是1khRNu8.附图所示为一炉壁传热的示意图，炉壁的内壁面温度恒定为400K，炉壁外空气的温度bt为300K，外壁面与空气之间的对流传热系数h45)Km/(W2，导热系数k)KW/(m45，若取20.yxm，试建立炉壁温度场的结点温度方程组并求各点的温度值。解：针对各结点列出结点温度分布方程，即123400tttK4点：5174240tttt5点：2468540ttttt6点：5396240tttt7点：4872(1)2bhxhxttttkk8点：597108622(3)2hxhxttttttkk9点：86119240tttt10点：811102(1)2bhxhxttttkk习题8附图12345678911绝热绝热⊿X空气tb400K1011点：910112(1)2bhxhxttttkk其中：450.22230012045bhxtk450.20.245bhxtk2(1)2.4hxk，2(3)6.4hxk∴123457546865974885971098611108111191040042400440042400241206.422422412024120ttttttttttttttttttttttttttttttt求解得：123400tttK4379.4tK,5379.4tK,6379.6tK7357.7tK,8359.1tK,9360tK10342.3tK,11342.6tK9.有一长度为0.2m、直径为0.05m的不锈钢锭，其导温系数/hm015602.，导热系数k=20)KW/(m，初始温度为363K。现将钢锭放入温度为1473K的炉中加热。钢锭表面与周围环境的联合传热系数（包括对流和辐射）为100)Km/(W2，试求使钢锭升温至1073K所需的时间。解：由于h值较小，k值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算Bi数。(/)ihVABk214VDL2124ADLD2214/0.011114224DLDLVALDDLD1000.01110.0560.120iB∴可应用集总热容法。220.0156126.6(/)0.0111oFVA由0exp()bibttBFott得01110731473lnln0.0563631473bibttFoBtt18.2318.230.144126.6126.6Foh10.有一半径为25mm的钢球，其导热系数为433)KW/(m，密度为7849kg/m3，比热容为0.4609kJ/kg，钢球的初始温度均匀，为700K。现将此钢球置于温度为400K的环境中，钢球表面与环境之间的对流传热系数为11.36)Km/(W2。试求1小时后钢球所达到的温度。解：由于h值较小，k值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算Bi数。3233000411//425108.310333VArr34(/)11.368.3102.2100.1433ihVABk故可应用集总热容法求解。22(/)(/)PkFoVAcVA33243336006.255107849460.9(8.310)432.2106.25510400700400te253.00.253(700400)400t475.8K11.一半无限大固体（)~0x，，其初始温度为0T。在时刻0，通过0x的表面有一热通量0q，并保持此通量不变。设有关的物性为常数。（1）试从直角坐标系的能量方程（6-26a）出发，简化为此种情况下的特殊形式，并写出简化过程的依据；（2）将上述方程两侧对x求导，从而得到以热通量q表示的方程，并写出相应的定解条件；（3）求解该方程，获得温度分布的表达式。解：对于本问题，有①固体热传导，0xyzuuu②一维热传导，0ttyz，22220ttyz③无内热源，q=0故能量方程化为22ttx上式两侧对x微分，并同时乘以k，可得22()()ttkkxxx或22qqx定解条件为0,0q00,xqq,0xq令4x，0qq，则上式可以化为2220dddd定解条件为,0