单调区间与极值

11、函数的增减性的判断与应用2、函数的极值§4.3函数的单调区间与极值2未定式求极限的方法:转化000转化0010转化使用罗必塔法则复习：上节课的主要内容3两条经验2).罗比塔法则不是万能的1).灵活使用罗比塔法则（如，等价无穷小替换，设等xt14一、函数的单调性50)(xf0)(xf0xyabxfy0)(xf0xyabxfy0)(xfxfyabxy0xfyabxy0增减1、函数单调性的判断1x2x6定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.),(ba(1).若在0)(xf内),(ba(2).若在0)(xf内单调减少.],[ba,则在上xf单调增加.],[ba,则在上xf说明)(xf在某区间内有限个点处为零,若则函数)(xf在该区间上仍是单增(或单减)的.在其余点处恒为正(或负),7证明应用拉格朗日中值定理)()(12xfxf0,0)(f012xx,)(),,(,2121xxbaxx(1).设))((12xxf),(21xx),()(21xfxf即)(xfba,所以在上单增.)()(12xfxf（2）证明类似8xycos10解内在)2,0(sinxxy例1.判定函数][0,2在上的单调性.sinxxy][0,2在上单增.一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增,在另一部分区间上单减,函数)(xf的单增区间,单减区间统称为单调区间.9解(1).定义域,)2)(1(6xx31292)(23xxxxf例2.确定函数的单调区间.0)(xf令2,121xx,得)(xf(2).(3).以2,121xx为分界点,将定义域分割,列表:x)x(f)x(f),(1),(21),(2增减增函数)(xf的单增区间为:]1,().,2(,单减区间为:]2,1(121862xx105xxyoab1x2x3x4x)(xfy0)()()(321xfxfxf)(4xf不存在,0)(5xf确定函数单调区间的方法和步骤:(1).求),(xf(2)找使0)(xf的点(驻点),及使)(xf不存在的点;(3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。观察图形可知：(求导）(找点）(列表）11解(1)定义域,32)25()(xxxf例3确定函数的单调区间.(2).)(xf332132)25(xxx3135xx0)(xf令,11x,得当02x时,)(xf不存在,(3).列表:x)(xf)(xf)0,()1,0(),1(增减增函数)(xf的单增区间为:]0,().,1(,单减区间为:].1,0(练习一下120x时,例4.证明当xxx1)1ln(方法１：设xxxxf11ln21111xxxf21xx0所以，0x在时，是增函数xf00fxf故有，xxx1)1ln(即，2、函数单调性的应用13方法２：设),1ln()(xxf0x对)1ln()(xxf在],0[x上应用拉氏中值定理,),0(x,使)0)(()0()(xffxf)01ln()1ln(x即1x因x0所以1xxx1即.1)1ln(xxx14例5证明：当时，恒有2211lnxxx0x练习一下15二、函数的极值16定义1设f(x)在区间(a,b)内有定义,),b,a(x0都有极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),x,x(x00),,(0xU若存在)x(f)x(f01).,则称)(0xf为函数)(xf的极大值.2).)x(f)x(f0,则称)(0xf为函数)(xf的极小值.1、函数的极值的定义极大值点0x极小值点0x1x)(xfy2xxyo17注意1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极大值可能比极小值小4)函数的极值不在端点上取18由图所示,函数)(xf的极大值为:),(2xf),(4xf).(6xf极小值为:),(1xf),(3xf),(5xf).(7xf函数的极值在单调区间的分界点处取得.xyab1x2x3x4x)(xfy5x6x7x8x)(xf的最大值为:)b(f最小值为:)x(f3).x(f719000)()(lim)(0xxxfxfxfxx定理2（必要条件）)(0xf是极大值.证不妨设由定义知,0)x(f)x(f)(0xf000)(0xf设函数)(xf在0x处可导并取得极值,则0)(0xf)(0xf000)()(lim)(0xxxfxfxfxx0x的某一邻域内,恒有在2、极值的求法20条件必要而不充分.即导数为零的点未必是极值点.注意例y=x3在x=0点导数为零，但不是极值点。21说明1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.若0)(0xf，称点0x为函数)(xf的驻点.2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。小值。点导数不存在，但有极在例：0xxy22定理3(极值存在充分条件之一)当0xx时,;0)(xf当0xx时,;0)(xf1)若)(xf则在0x处取得极大值.当0xx时,;0)(xf2)若当0xx时,;0)(xf)(xf则在0x处取得极小值.3)若)(xf在0x的邻近两侧不变号,则)(xf在0x处没有极值.在0x点连续，在的某一邻域内可导（可除外）)(xf设函数0x0xxyab1x2x3x4x)(xfy5x6x7x8x23593)(23xxxxf例6.求函数的单调区间与极值.解.)(xf9632xx)3)(1(3xx0,得.3,121xx列表:x)1,(1)3,1(3),3()(xf)(xf00极大值极小值增减增极大值为:)1(f0,1极小值为:)3(f22.24确定函数单调区间与极值的步骤:(1).求),(xf（2）找使0)(xf的点(驻点),及使)(xf不存在的点;(3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理判断单调区间与极值。(求导）(找点）(列表）25（千万别忘记了定义域）xxxfln2)(2例7.求函数的单调区间与极值.解(1)定义域为,0(2))(xfxx14xx1420)(xf令,211x,得(3).列表:),0(21x),(2121)(xf)(xf0增减极小值练习一下26定理4（极值存在充分条件之二）,0)(0xf设函数0x处具有二阶导数,且)(xf在点则0)(0xf当时,)(0xf为极大值;0)(0xf当时,)(0xf为极小值.0)(0xf当时,待定27列表:)(xf)(xf0极小值增减x)1,(1)0,1(),1(0)1,0(100减增非极值非极值1)1()(32xxf例8.求函数的极值.解:)(xf22)1(6xx01,0,1321xxx得方法１28)15)(1(6)(22xxxf)0(f，01f,06所以有极小值:;0)0(f定理4失效,用定理3判断.当1x时,;0)(xf01x时,;0)(xf1x不是极值点当10x时,;0)(xf1x时,1x不是极值点;0)(xf方法2291）求函数的单调区间与极值小结2）利用函数的单调性证明不等式两条经验1).列表，求函数的单调区间与极值很方便2).利用单调性证明不等式，关键是设函数30)3(1)3(4)4(3129122PP作业