贝叶斯分类器经典讲解

贝叶斯算法贝叶斯算法贝叶斯，英国数学家。1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。一个医疗诊断问题有两个可选的假设：病人有癌症、病人无癌症可用数据来自化验结果：正+和负-有先验知识：在所有人口中，患病率是0.008对确实有病的患者的化验准确率为98%，对确实无病的患者的化验准确率为97%总结如下P(cancer)=0.008,P(cancer)=0.992P(+|cancer)=0.98,P(-|cancer)=0.02P(+|cancer)=0.03,P(-|cancer)=0.9问题：假定有一个新病人，化验结果为正，是否应将病人断定为有癌症？求后验概率P(cancer|+)和P(cancer|+)贝叶斯定理解决上面的问题：已知某条件概率，如何得到两个事件交换后的概率，也就是在已知P(A|B)的情况下如何求得P(B|A)。癌症诊断正确诊断正确癌症贝叶斯定理这里先解释什么是条件概率)(BAP在事情B发生的条件下A发生的条件概率，其求解公式为)()(BPABPBAP贝叶斯定理贝叶斯定理的意义在于，我们在生活中经常遇到这种情况：我们可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)则很难直接得出，但我们更关心P(B|A)，贝叶斯定理就为我们打通从P(A|B)获得P(B|A)的道路。贝叶斯定理)()()()(APBPBAPABP下面不加证明给出贝叶斯定理公式机器语言中的定义)(AP表示在没有训练数据前假设A拥有的初始概率。P(A)被称为A的先验概率.)(ABPP(A|B)表示假设B成立时A的概率机器学习中我们关心的是P(B|A)，即给定A时B的成立的概率，称为B的后验概率，)()()()(APBPBAPABP贝叶斯定理的解释P(B|A)随着P(B)和P(A|B)的增长而增长，随着P(A)的增长而减少，即如果A独立于B时被观察到的可能性越大，那么B对A的支持度越小.评分标准)()|(maxarg)()()|(maxarg)|(maxargBPBAPAPBPBAPABPBHBHBHBMAPH：假设候选集表示使P（B|A)最大的B值P(A)??_P（A|B)=)|(1BAPNi评分标准朴素贝叶斯分类器1、条件独立性给定类标号y，朴素贝叶斯分类器在估计类条件概率时假设属性之间条件独立。条件独立假设可以形式化的表达如下：UniyYxPyYXP1)|()|(其中每个训练样本可用一个属性向量X=(x1,x2,x3,„,xn)表示，各个属性之间条件独立。朴素贝叶斯分类器比如，对于一篇文章“Goodgoodstudy,Daydayup.”用一个文本特征向量来表示：x=(Good,good,study,Day,day,up)。一般各个词语之间肯定不是相互独立的，有一定的上下文联系。但在朴素贝叶斯文本分类时，我们假设个单词之间没有联系，可以用一个文本特征向量来表示这篇文章，这就是“朴素”的来历。朴素贝叶斯如何工作有了条件独立假设，就不必计算X和Y的每一种组合的类条件概率，只需对给定的Y，计算每个xi的条件概率。后一种方法更实用，因为它不需要很大的训练集就能获得较好的概率估计。估计分类属性的条件概率P(xi|Y=y)怎么计算呢？它一般根据类别y下包含属性xi的实例的比例来估计。以文本分类为例，xi表示一个单词，P(xi|Y=y)=包含该类别下包含单词的xi的文章总数/该类别下的文章总数。贝叶斯分类器举例假设给定了如下训练样本数据，我们学习的目标是根据给定的天气状况判断你对PlayTennis这个请求的回答是Yes还是No。DayOutlookTemperatureHumidityWindPlayTennisD1SunnyHotHighWeakNoD2SunnyHotHighStrongNoD3OvercastHotHighWeakYesD4RainMildHighWeakYesD5RainCoolNormalWeakYesD6RainCoolNormalStrongNoD7OvercastCoolNormalStrongYesD8SunnyMildHighWeakNoD9SunnyCoolNormalWeakYesD10RainMildNormalWeakYesD11SunnyMildNormalStrongYesD12OvercastMildHighStrongYesD13OvercastHotNormalWeakYesD14RainMildHighStrongNo14/9yesyp）(145/)noy(pwindhumdityetemperaturoutlookx][noyes，y）（xf贝叶斯分类器打网球我们需要利用训练数据计算后验概率P(Yes|x)和P(No|x)，如果P(Yes|x)P(No|x)，那么新实例分类为Yes，否则为No。贝叶斯分类器举例我们将使用此表的数据，并结合朴素贝叶斯分类器来分类下面的新实例：strongnormalcoolovercastwindhumdityetemperaturoutlookx贝叶斯分类器举例DayOutlookTemperatureHumidityWindPlayTennisD1SunnyHotHighWeakNoD2SunnyHotHighStrongNoD8SunnyMildHighWeakNoD14RainMildHighStrongNoD6RainCoolNormalStrongNoP(Outlook=Sunny|No)=3/5P(Temperature=Cool|No)=1/5P(Humidity=High|No)=4/5P(Wind=Strong|No)=3/5贝叶斯分类器举例P(Outlook=Sunny|No)=3/5P(Temperature=Cool|No)=1/5P(Humidity=High|No)=4/5P(Wind=Strong|No)=3/5145/)noY(p6253653545153***)NOY|X(P8751814562536*)NOY(P*)NOY|X(P贝叶斯分类器举例DayOutlookTemperatureHumidityWindPlayTennisD3OvercastHotHighWeakYesD4RainMildHighWeakYesD5RainCoolNormalWeakYesD7OvercastCoolNormalStrongYesD9SunnyCoolNormalWeakYesD10RainMildNormalWeakYesD11SunnyMildNormalStrongYesD12OvercastMildHighStrongYesD13OvercastHotNormalWeakYesP(Outlook=Sunny|Yes)=2/9P(Temprature=Cool|Yes)=3/9P(Humidity=High|Yes)=3/9P(Wind=Strong|Yes)=3/9283293939392***)YESY|X(PP(Outlook=Sunny|Yes)=2/9P(Temprature=Cool|Yes)=3/9P(Humidity=High|Yes)=3/9P(Wind=Strong|Yes)=3/9贝叶斯分类器举例14/9yesPP）(189114993939392****)YESP(P)YESY|X(P贝叶斯分类器举例由于87518)NOY(P)NOY|X(P1891)YESP(P)YESY|X(P大于所以该样本分类为No条件概率的m估计假设有来了一个新样本x1=(Outlook=Cloudy,Temprature=Cool,Humidity=High,Wind=Strong)要求对其分类。我们来开始计算P(Outlook=Cloudy|Yes)=0/9=0P(Outlook=Cloudy|No)=0/5=0计算到这里，大家就会意识到，这里出现了一个新的属性值，在训练样本中所没有的。如果有一个属性的类条件概率为0，则整个类的后验概率就等于0，我们可以直接得到后验概率P(Yes|x1)=P(No|x1)=0，这时二者相等，无法分类。条件概率的m估计当训练样本不能覆盖那么多的属性值时，都会出现上述的窘境。简单的使用样本比例来估计类条件概率的方法太脆弱了，尤其是当训练样本少而属性数目又很大时。解决方法是使用m估计(m-estimate)方法来估计条件概率：mnmpn)Y|X(Pcin是Y中的样本总数，nc是Y中取值xi的样本数，m是称为等价样本大小的参数，而p是用户指定的参数。如果没有训练集（即n=0），则P(xi|yj)=p,因此p可以看作是在Y的样本中观察属性值xi的先验概率。等价样本大小决定先验概率和观测概率nc/n之间的平衡多项式模型基本原理在多项式模型中，设某文档d=(t1,t2,…,tk)，tk是该文档中出现过的单词，允许重复，则:V是训练样本的单词表（即抽取单词，单词出现多次，只算一个），|V|则表示训练样本包含多少种单词。在这里，m=|V|,p=1/|V|。P(tk|c)可以看作是单词tk在证明d属于类c上提供了多大的证据，而P(c)则可以认为是类别c在整体上占多大比例(有多大可能性)。整个训练本的单词总数下单词总数类）（先验概率ccp|v|cttPkk下单词总数类数在各个文档中出现的次下单词类条件概率1c)c|(多项式模型举例iddoc类别Inc=China?1ChineseBeijingChineseyes2ChineseChineseShanghaiyes3ChineseMacaoyes4TokyoJapanChineseno给定一个新样本ChineseChineseChineseTokyoJapan，对其进行分类。该文本用属性向量表示为d=(Chinese,Chinese,Chinese,Tokyo,Japan)类别集合为Y={yes,no}。多项式模型举例iddoc类别Inc=China?1ChineseBeijingChineseyes2ChineseChineseShanghaiyes3ChineseMacaoyes4TokyoJapanChineseno118)YES(P113)NO(P字典里包括六个单词iddoc类别Inc=China?1ChineseBeijingChineseyes2ChineseChineseShanghaiyes3ChineseMacaoyes4TokyoJapanChinesenoP(Chinese|yes)=(5+1)/(8+6)=6/14=3/7P(Japan|yes)=P(Tokyo|yes)=(0+1)/(8+6)=1/14P(Chinese|no)=(1+1)/(3+6)=2/9P(Japan|no)=P(Tokyo|no)=(1+1)/(3+6)=2/9p(yes|d)=(3/7)3×1/14×1/14×8/11=108/184877≈0.00058417P(no|d)=(2/9)3×2/9×2/9×3/11=32/216513≈0.00014780因此，这个文档属于类别china。伯努利模型1、基本原理整个训练本的文件总数下文件数类）（先验概率ccp2cttPkk下文件数类的文件数下单词类条件概率1c)c|(在这里，m=2,p=1/2。p(|c=YES)=p(|c=yes)(1-p(|c=yes)ctcttit伯努利模型举例iddoc类别Inc=China?1ChineseBeijingChineseyes2ChineseChineseShanghaiyes3ChineseMacao