南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵

第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite二次型5.4Hermite矩阵的特征值*5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（非负定）矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite二次型5.1.1Hermite矩阵5.1.2矩阵的惯性5.1.3Hermite二次型5.1.1Hermite矩阵Hermite矩阵具有如下简单性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p,kA+pB是Hermite矩阵；(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵S，SHAS是Hermite矩阵。定理5.1.1.,,)(是实数必要条件是对任意矩阵的充分是则设AxxCxHermiteACaAHnnnjk定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U使得nnCA)1.1.5(),,,(21nHdiagAUU均为实数。其中n,,,21定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA)2.1.5(),,,(21nTdiagAQQ均为实数。其中n,,,215.1.2矩阵的惯性定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A相合于矩阵)3.1.5(0000000rnsrsOIID其中r=rank(A)，s是A的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。(5.1.3)中矩阵称为n阶Hermite矩阵A的相合标准形。定理5.1.6(Sylvester惯性定律）设A,B是n阶Hermite矩阵，则A与B相合的充分必要条件是)6.1.5()()(BInAIn的惯性。为矩阵则称记特征值按重数计算）。轴上特征值的个数（重平面、左半开平面和虚的位于复平面上右半开分别表示和、设AAInAAAAInAAAACAnn)()}(),(),({)()()()(,5.1.3Hermite二次型式，系数为复数的二次齐个复变量由nxxn,,1)10.1.5(),,(111jininjijnxxaxxf，称为其中jiijaannnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,则A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的矩阵，并且称A的秩为Hermite二次型的秩。二次型。Hermite记利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可表示为AxxxfH)(设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x=Py，则ByyAxxxfHH)(.APPBH其中Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型)12.1.5(222111nnnyyyyyy称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的标准形。定理5.1.7对Hermite二次型f(x)=xHAx，存在酉线性变换x=Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite二次型f(x)变成标准形nnnyyyyyy222111的特征值。矩阵是其中AHermiten,,,21定理5.1.8对Hermite二次型f(x)=xHAx，存在可逆线性变换x=Py使得Hermite二次型f(x)化为rrssssHyyyyyyyyAxxxf1111)(其中r=rank(A)，s=π(A).Hermite二次型可分为五种情况.0,0,0.,)1(12AxxyxyAxxnrsHniiH则若则规范形为若.0.,)2(12AxxCxyAxxnrsHnriiH都有对任意则规范形为若.0,0,0.,,0)3(12AxxyxyAxxnrsHniiH则若则规范形为若.0.,,0)4(12AxxCxyAxxnrsHnriiH都有对任意则规范形为若.00,0,.,0)5(1212或等于小于之值可以大于对不同的则规范形为若AxxxyyAxxnrsHrsiisiiH定义5.1.1设f(x)=xHAx为Hermite二次型。为正定的；，则称都有且如果对任意AxxAxxxCxHHn0,0)1(的；非负定半正定为，则称都有如果对任意)(0,)2(AxxAxxCxHHn为负定的；，则称都有且如果对任意AxxAxxxCxHHn0,0)3(半负定的；为，则称都有如果对任意AxxAxxCxHHn0,)4(.,,,)5(为不定的则称有时为负有时为正对不同的AxxAxxCxHHn定理5.1.9对Hermite二次型f(x)=xHAx,有；正定的充分必要条件为nrsAxxH)1(；为半正定的充分必要条件nrsAxxH)2(；负定的充分必要条件为nrsAxxH,0)3(；为半负定的充分必要条件nrsAxxH,0)4(.0)5(nrsAxxH不定的充分必要条件为5.2Hermite正定（非负定）矩阵.0,)(,0;0,0,0,AAAxxCxAAAxxxCxHermitenAHnHn记作矩阵半正定为非负定则称都有果对任意如记作为正定矩阵，则称都有且如果对任意矩阵阶是设定义5.2.1正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：；单位矩阵0)1(I；则数若0,0,0)2(kAkA；则若0,0,0)3(BABA.0,0,0)4(BABA则若定理5.2.1设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1)A是正定矩阵；(2)对任意n阶可逆矩阵P,PHAP都是Hermite正定矩阵；(3)A的n个特征值均为正数；(4)存在n阶可逆矩阵P使得PHAP=I；(5)存在n阶可逆矩阵Q使得A=QHQ；(6)存在n阶可逆Hermite矩阵S使得A=S2.，则正定矩阵，其特征值为阶是设nHermitenA,,,21推论5.2.1是正定矩阵；1)1(A;0)2(AQQmnQH列满秩矩阵，则是任一如果;0)3(A.),,2,1()()4(niAtri定理5.2.2设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1)A是非负定矩阵；(2)对任意n阶可逆矩阵P,PHAP是Hermite非负定矩阵；(3)A的n个特征值均为非负数；);(,0004ArankrIAPPPnrH其中使得阶可逆矩阵）存在（;)5(QQAQrH使得的矩阵存在秩为.62SASHermiten使得矩阵阶）存在（推论5.2.2，则为非负定矩阵，其特征值阶是设nHermitenA,,,21;0)1(AQQmnQH矩阵，则是任一如果;0)2(A.),,2,1()()3(niAtri定理5.2.3n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即nkkkAk,,1011定理5.2.4n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零。定理5.2.5n阶Hermite矩阵A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负。定理5.2.6n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶非奇异下三角矩阵L使得)3.2.5(HLLA使得和非零向量如果存在复数设nnnCxCBA,,定义5.2.2)5.2.5(BxAx则称λ为广义特征值问题的特征值，非零向量x称为对应于特征值的特征向量。BxAx定理5.2.7设A,B均为n阶Hermite矩阵，且B0，则存在非奇异矩阵P使得IBPPdiagAPPHnH),,,(1的特征值。是广义特征值问题其中)5.2.5(,,,21n5.3矩阵不等式定义5.3.1设A,B都是n阶Hermite矩阵，若A－B≥0，则称A大于或等于B（或称B小于或等于A），记作A≥B（或B≤A）；若A－B＞0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB或（BA）。设A,B都是n阶Hermite矩阵，由定义5.3.1得BxxAxxCxBAHHn都有对任意注意(1)任意两个实数总可以比较大小。但任意两个n阶Hermite矩阵未必能“比较大小”，即并非A≥B或B≥A两者之中必有一成立。(2)对任意两个实数a和b，如果a≥b，而a≯b，则有a=b。但对两个n(n≥2)阶Hermite矩阵A与B，从A≥B和A≯B，不能推出A=B。(3)矩阵的“≥”是Hermite矩阵集合中的一种偏序关系。定理5.3.1设A,A1,B,B1,C均为n阶Hermite矩阵，则);()()1(BABABABA都有阶可逆矩阵对任意PnBABA)()2()(BPPAPPBPPAPPHHHH);()()3(kBkAkBkAkBABA为正数，则，若;0,00)4(AAA则，若;0,00)5(BABA则，若;,)6(CACBBA则，若;,)7(1111BBAABABA则，若;0,00)8(BABA则，若;,)9(CACBBA则，若;,)10(BPPAPPmnPBAHH则列满秩矩阵为，若;,)11(BPPAPPmnPBAHH则矩阵为，若).0(0,),0(0)0(0)12(ACACCAACCCAA则且，若定理5.3.2设A,B均为n阶Hermite矩阵，且A≥0,B0，则;1)()1(1ABAB的充分必要条件是.1)()2(1ABAB的充分必要条件是定理5.3.3设A是n阶Hermite矩阵,则其中和分别表示A的最大和最小特征值。IAAIA)()(maxmin)(maxA)(minA推论5.3.1设A是Hermite非负定矩阵，则A≤tr(A)I。定理5.3.4设A,B均为n阶Hermite矩阵，则;00)1(11ABBA，则若.00)2(11ABBA，则若定理5.3.5设A,B均为n阶Hermite矩阵,且AB=BA,则;)1(22BABA，则若.)2(22BABA，则若定理5.3.6则矩阵是行满秩矩阵是设,,knBnmA)()()(1ABAAABBBHHH.CABCkmH使得阵矩要条件是存在一个其中等号成立的充分必5.4Hermite矩阵的特征值*定义5.4.1称且对任意矩阵阶为设,0,xCxHermitenAn0,)(xxxAxxxRHH为Hermite矩阵A的Rayleigh商。，则矩阵，其特征值为阶是设nHermitenA21定理5.4.1;0,),()()1(kCkxRkxR;0,)()2(1xxRn).(min),(max)3(001xRxRxnx定理5.4.2则记向量为，相应的标准正交特征矩阵，其特征值为阶是设),}(,,,{.,,,1)(2121jixxxspanVxxxHermitenAjiijinn)(min,)(max0)(0)(xRxRxjixjiVxjVxi则维子空间中是，矩阵，其特征值为阶是设,21iCVHermitenAnin定理5.4.3)(minmax0xRxVxViii)(maxmin011xRxVxViinin.,,2,1ni其中定理5.4.4令且矩阵，阶是设.111)1(1nnHnnnnIUUCUHermitenA的特征值为与AAAUUAnHn.11)()(),