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公理与定理本课内容本节内容2.3在本章2.2节的例题、练习和习题2.2的A组题中，判断下列命题为真命题是根据什么呢？说一说是分别根据实数、整数、有理数、正方形的定义作出的判断．（1）如果a是有理数，那么a是实数；（2）如果m是自然数，那么m是整数；（3）如果a是整数，那么a是有理数；（4）如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形．结论从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？（1）如果a是有理数，那么a是实数；（2）如果m是自然数，那么m是整数；（3）如果a是整数，那么a是有理数；（4）如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形．古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.小知识欧几里得小知识欧几里得以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理，它也可以作为判断其他命题的真假的依据.小知识欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)《原本》.把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：直观，易于被大家所公认；够用；尽可能少；相互之间不闹矛盾等．根据上述原则并且考虑到同学们的实际情况，我们编写的这套教材到目前为止选择了下列真命题作为公理：1.等量加等量，和相等．2.等量减等量，差相等．a=b，a+c=b+ca=b，a-c=b-c3.等量代换(即，如果a=b且c=b，那么a=c).4.整体大于部分．5.通过两点有且只有一条直线．6.连接两点的所有连线中，线段最短．7.经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．8.平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向．9.轴反射不改变图形的形状和大小.10.旋转不改变图形的形状和大小．结论在本套教材的七年级下册，我们运用公理７和公理８证明了平行线的性质定理Ⅰ：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.12结论利用这个定理和公理３证明了平行线的判定定理Ⅰ：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，两条直线平行．12结论在八年级上册，我们运用公理8、公理9和公理10证明了三角形全等的三个判定定理：边角边定理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理有三条边对应相等的两个三角形全等．结论在八年级上册，我们利用图形全等的定义得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．结论在七年级下册、八年级上册、八年级下册，我们利用上述定理和公理9证明了：平行线的性质定理Ⅱ、Ⅲ，判定定理Ⅱ、Ⅲ；三角形的内角和定理及外角定理；垂直平分线的性质定理及其逆命题；等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理；直角三角形全等的判定定理；结论角平分线的性质定理及其逆命题，三角形的三条角平分线交于一点；平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．我们把这些定理的证明线索用框图列举出来，作为附录，放在本册书的最后，供同学们学习时查阅．平行线的性质定理Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．动脑筋平行线的判定定理Ｉ两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．上述这两个定理是不是互逆的命题？1212结论如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理.例如，平行线的判定定理Ⅰ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．做一做（1）线段垂直平分线上任意一点到这条线段两端点的距离相等；下列定理有逆定理吗？如果有，把它说出来．答：如果一点到线段两端点的距离相等，那么这点在这条线段的垂直平分线上；（2）等腰三角形的两底角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分．答：在三角形中，如果有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；答：如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边行.练习1.三角形全等的判定定理有哪些？答：SAS，ASA，SSS.2.下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．（1）两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；（3）平行四边形的对边相等．答：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（2）角平分线上任意一点到角两边的距离相等；答：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.结束